A Tìm x, y biết: X^2 - 2xy + 2x + 2y^2 - 4y + 2 = 0. B — Không quảng cáo

Phương pháp giải

a) Sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \({a^2} + 2ab + {b^2} = {\left( {a + b} \right)^2}\) và bình phương của một hiệu: \({a^2} - 2ab + {b^2} = {\left( {a - b} \right)^2}\) để biến đổi về dạng \({A^2} + {B^2} + c\).

Khi đó giá trị nhỏ nhất là c (với c là hằng số).

b) Gọi x, y (m) là các kích thước của hình chữ nhật.

Biểu diễn diện tích theo x, y.

Từ đó biểu diễn chu vi theo x, y để kiểm tra câu trả lời của bạn Nam.

a) \({x^2} - 2xy + 2x + 2{y^2} - 4y + 2 = 0\)

\(\begin{array}{l}{x^2} - 2xy + {y^2} + 2x - 2y + 1 + {y^2} - 2y + 1 = 0\\{\left( {x - y} \right)^2} + 2\left( {x - y} \right) + 1 + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\\{\left( {x - y + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\end{array}\)

Vì \({\left( {x - y + 1} \right)^2} \ge 0\) và \({\left( {y - 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi x, y nên \({\left( {x - y + 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 0\) khi \(x - y + 1 = 0\) và \(y - 1 = 0\).

+) \(y - 1 = 0\) suy ra \(y = 1\)

+) \(x - y + 1 = 0\) hay \(x - 1 + 1 = 0\) suy ra \(x = 0\).

Vậy \(x = 0\) và \(y = 1\).

b) Gọi x, y (m) là các kích thước của hình chữ nhật. \(\left( {x;y > 0} \right)\)

Vì hình chữ nhật có diện tích không đổi bằng \(100{m^2}\) nên ta có \(xy = 100\left( {{m^2}} \right)\).

Ta có: \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\)

Suy ra \({x^2} - 2xy + {y^2} \ge 0\)

\({x^2} + 2xy + {y^2} - 4xy \ge 0\)

\({\left( {x + y} \right)^2} \ge 4xy = 4.100 = 400\)

Suy ra \(x + y \ge \sqrt {400}  = 20\).

Do đó chu vi hình chữ nhật là \(C = 2\left( {x + y} \right) \ge 2.20 = 40\left( m \right)\)

Dấu bằng xảy ra khi \(x = y = 10\) khi đó hình chữ nhật là hình vuông.

Vậy bạn Nam trả lời đúng.

Khi đó chu vi nhỏ nhất là 40m.