A Tính tổng A = 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 +. . . + 1/45. B — Không quảng cáo

Phương pháp giải

a) Nhân cả tử và mẫu của các phân số trong A với 2.

Rút 2 ra ngoài, biến đổi các phân số $\frac{1}{{a\left( {a + 1} \right)}}$ thành $\frac{1}{a} - \frac{1}{{a + 1}}$ (vì $\frac{1}{{a\left( {a + 1} \right)}} = \frac{1}{a} - \frac{1}{{a + 1}}$)

Tính A.

b) Để chứng minh phân số tổi giản, ta chứng minh ƯCLN của tử số và mẫu số là 1.

a) Ta có $A = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{10}} + \frac{1}{{15}} + ... + \frac{1}{{45}} = \frac{2}{6} + \frac{2}{{12}} + \frac{2}{{20}} + \frac{2}{{30}} + ... + \frac{2}{{90}}$

$\begin{array}{l} = 2\left( {\frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + \frac{1}{{4.5}} + \frac{1}{{5.6}} + ... + \frac{1}{{9.10}}} \right)\\ = 2\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{5} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + ... + \frac{1}{9} - \frac{1}{{10}}} \right)\end{array}$

$= 2\left( {\frac{1}{2} - \frac{1}{{10}}} \right) = 2.\frac{4}{{10}} = \frac{4}{5}$.

Vậy $A = \frac{4}{5}.$

b) Gọi ƯCLN$\left( {n - 1\,;\,n - 2} \right) = d$ suy ra $n - 1 \vdots d\,\,\,,\,\,n - 2 \vdots d$

suy ra $\left( {n - 1} \right) - \left( {n - 2} \right) \vdots d$suy ra $1 \vdots d \Rightarrow d = 1$ với mọi $n$

Vậy với mọi $n \in {\rm Z}$ thì $M = \frac{{n - 1}}{{n - 2}}$ là phân số tối giản.