Bài 2 trang 174 SGK Đại số và Giải tích 11
Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
LG a
\(y = \dfrac{1}{1-x}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản, các quy tắc tính đạo hàm để tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l} y = \dfrac{1}{{1 - x}}\\ \Rightarrow y' = \dfrac{{ - \left( {1 - x} \right)'}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}= \dfrac{-({ - 1})}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}\\ \Rightarrow y'' = - \dfrac{{\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^2}} \right]'}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^4}}} \\=-\dfrac{{2\left( {1 - x} \right)\left( { - 1} \right)}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^4}}} = \dfrac{2}{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}}\\ \end{array}\)
LG b
\(y = \dfrac{1}{\sqrt{1-x}}\)
Phương pháp giải:
Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản, các quy tắc tính đạo hàm để tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l} \,\,y = \dfrac{1}{{\sqrt {1 - x} }}\\ \Rightarrow y' = - \dfrac{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^2}}} = - \dfrac{{\dfrac{{\left( {1 - x} \right)'}}{{2\sqrt {1 - x} }}}}{{1 - x}}\\= - \dfrac{{\dfrac{{ - 1}}{{2\sqrt {1 - x} }}}}{{1 - x}} = \dfrac{1}{{2{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^3}}}\\ \Rightarrow y'' = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{ - \left[ {{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^3}} \right]'}}{{{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^6}}} \\= - \dfrac{1}{2}.\dfrac{{3{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^2}.\left( {\sqrt {1 - x} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^6}}}\\= - \dfrac{{3\left( {1 - x} \right).\dfrac{{ - 1}}{{2\sqrt {1 - x} }}}}{{2{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^6}}} = \dfrac{3}{{4{{\left( {\sqrt {1 - x} } \right)}^5}}}\\ \end{array}\)
LG c
\(y = \tan x\)
Phương pháp giải:
Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản, các quy tắc tính đạo hàm để tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l} \,\,y = \tan x\\ \Rightarrow y' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\ \Rightarrow y'' = - \dfrac{{\left( {{{\cos }^2}x} \right)'}}{{{{\cos }^4}x}} = - \dfrac{{2\cos x\left( {\cos x} \right)'}}{{{{\cos }^4}x}}\\= \dfrac{{2\cos x\sin x}}{{{{\cos }^4}x}} = \dfrac{{2\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\\ \end{array}\)
Cách khác:
\(\begin{array}{l} y = \tan x\\ y' = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} = 1 + {\tan ^2}x\\ y'' = \left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)'\\ = 2\tan x\left( {\tan x} \right)'\\ = 2\tan x.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}\\ = \dfrac{{2\tan x}}{{{{\cos }^2}x}} \end{array}\)
LG d
\(y = \cos^2x\)
Phương pháp giải:
Sử dụng bảng đạo hàm cơ bản, các quy tắc tính đạo hàm để tính đạo hàm cấp 2 của các hàm số.
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l} y = {\cos ^2}x\\ \Rightarrow y' = 2\cos x\left( {\cos x} \right)'\\= - 2\cos x\sin x = - \sin 2x\\ \Rightarrow y'' = -(2x)'\cos 2x=- 2\cos 2x \end{array}\)