Bài tập 14 trang 122 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 2
Giải bài tập Cho tam giác DEF. Tia phân giác của gióc D và E cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với EF, đường thẳng này cắt DE tại M, cắt DF tại N. Chứng minh rằng ME + NF = MN.
Đề bài
Cho tam giác DEF. Tia phân giác của gióc D và E cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với EF, đường thẳng này cắt DE tại M, cắt DF tại N. Chứng minh rằng ME + NF = MN.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\widehat {MIE} = \widehat {IEF}\) (hai góc so le trong và MN // EF)
\(\widehat {MEI} = \widehat {IEF}\) (EI là tia phân giác của \(\widehat {DEF}\))
Do đó \(\widehat {MIE} = \widehat {MEI}\) => ∆MIE cân tại M => ME = MI (1)
∆DEF có: I là giao điểm của hai đường phân giác của góc D và góc E (gt)
Do đó theo định lí về ba đường phân giác
Ta có FI là tia phân giác của \(\widehat {DFE}.\)
\( \Rightarrow \widehat {IFE} = \widehat {IFN}\)
Mà \(\widehat {IFE} = \widehat {NIF}\) (hai góc so le trong và IN // EF)
Nên \(\widehat {IFN} = \widehat {NIF}.\)
Do đó ∆INF cân tại N => NF = IN (2)
Từ (1) và (2) cộng vế theo vế ta có: ME + NF = MI + IN = MN.