Bài tập 9 trang 157 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1 — Không quảng cáo

Đề bài

Cho tam giác ABC có AB = AC, phân giác của góc A cắt BC tại H.

a) Chứng minh rằng $\Delta AHB = \Delta AHC$

b) Chứng minh rằng AH vuông góc với BC.

c) Kẻ $HE \bot AB(E \in AB),HF \bot AC(F \in AC).$  Chứng minh rằng $\Delta HEB = \Delta HFC$

d) Trên tia đối của tia HA ta lấy điểm D sao cho H là trung điểm của AD. Chứng minh rằng $FH \bot BD$

Lời giải chi tiết

a)Xét tam giác AHB và AHC có:

AB = AC (giả thiết)

$\widehat {BAH} = \widehat {CAH}$  (AH là tia phân giác của góc BAC)

AH là cạnh chung.

Do đó: $\Delta AHB = \Delta AHC(c.g.c)$

b) Ta có: $\Delta AHB = \Delta AHC$  (chứng minh câu a)

Suy ra: $\widehat {AHB} = \widehat {AHC};\widehat {ABH} = \widehat {ACH}$

Mà $\widehat {AHB} + \widehat {AHC} = {180^0}$   (kề bù)

Nên  $\eqalign{  & \widehat {AHC} + \widehat {AHC} = {180^0} \Rightarrow 2\widehat {AHC} = {180^0}.  \cr  & \widehat {AHC} = {90^0} \Rightarrow AH \bot BC \cr}$

c) Tam giác EBH vuông tại E có: $\widehat {EBH} + \widehat {EHB} = {90^0}$

Tam giác FHC vuông tại F có: $\widehat {FHC} + \widehat {FCH} = {90^0}$

Mà  $\widehat {EBH} = \widehat {FCH}$  (chứng minh câu b) nên  $\widehat {EHB} = \widehat {FHC.}$

Xét tam giác HEB và HFC có:

$\eqalign{  & \widehat {EBH} = \widehat {FCH}  \cr  & \widehat {EHB} = \widehat {FHC}(cmt)  \cr  & HB = HC(\Delta AHB = \Delta AHC) \cr}$

Do đó: $\Delta HEB = \Delta HFC(g.c.g)$

d) Xét tam giác AHC và DHB có:

AH = DH (giả thiết)

$\eqalign{  & HC = HB(\Delta AHB = \Delta AHC)  \cr  & \widehat {AHC} = \widehat {BHD}( = {90^0}) \cr}$

Do đó: $\Delta AHC = \Delta DHB(c.g.c) \Rightarrow \widehat {HAC} = \widehat {HDB}$

Mà hai góc này ở vị trí so le trong do đó AC // BD.

Mặt khác $HF \bot AC$   (giả thiết) nên ta có: $HF \bot BD$