Biết rằng cos 2A + 1/64cos ^4A - 2cos 2B + 4sin B + 13/4 — Không quảng cáo

Phương pháp giải

Sử dụng công thức: $\cos 2x = 1 - 2{\sin ^2}x = 2{\cos ^2}x - 1$

$\cos 2A + \frac{1}{{64{{\cos }^4}A}} - \left( {2\cos 2B + 4\sin B} \right) + \frac{{13}}{4} \le 0$

$\Leftrightarrow 2{\cos ^2}A - 1 + \frac{1}{{64{{\cos }^4}A}} - \left( {2 - 4{{\sin }^2}B + 4\sin B} \right) + \frac{{13}}{4} \le 0$

$\Leftrightarrow {\cos ^2}A + {\cos ^2}A + \frac{1}{{64{{\cos }^4}A}} + 4{\sin ^2}B - 4\sin B + 1 \le \frac{3}{4}\left( * \right)$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có: ${\cos ^2}A + {\cos ^2}A + \frac{1}{{64{{\cos }^4}A}} \ge \frac{3}{4}\left( 1 \right)$

Mặt khác: $4{\sin ^2}B - 4\sin B + 1 = {\left( {2\sin B - 1} \right)^2} \ge 0\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra bất đẳng thức (*) thỏa mãn khi và chỉ khi:

$\left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}A = \frac{1}{{64{{\cos }^4}A}}\\\sin B = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos A = \frac{1}{2}\\\sin B = \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat A = {60^0}\\\widehat B = {30^0}\\\widehat C = {90^0}\end{array} \right.$

Do đó, $\widehat B + \widehat C = {120^0}$