Cho \(0 < a,b,c,d < 1\). Chứng minh rằng:
\(\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)\left( {1 - d} \right) > 1 - a - b - c - d\).
Chứng minh \(\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right) > 1 - a - b\).
Tiếp tục chứng minh \(\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right) > 1 - a - b - c\).
Cuối cùng chứng minh \(\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)\left( {1 - d} \right) > 1 - a - b - c - d\).
Ta có: \(\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right) = 1 - a - b + ab\).
Vì \(0 < a,b\) nên \(1 - a - b + ab > 1 - a - b\).
Vì \(c < 1\) nên \(1 - c > 0\), suy ra \(\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right) > \left( {1 - a - b} \right)\left( {1 - c} \right)\).
Ta có: \(\left( {1 - a - b} \right)\left( {1 - c} \right) = 1 - a - b - c + ac + bc\).
Vì \(0 < a,b,c\) nên \(1 - a - b - c + ac + bc > 1 - a - b - c\).
Lại có \(d < 1\) nên \(1 - d > 0\), suy ra \(\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)\left( {1 - d} \right) > \left( {1 - a - b - c} \right)\left( {1 - d} \right)\)
Ta có: \(\left( {1 - a - b - c} \right)\left( {1 - d} \right) = 1 - a - b - c - d + ad + bd + cd\).
Vì \(0 < a,b,c,d\) nên \(1 - a - b - c - d + ad + bd + cd > 1 - a - b - c - d\).
Khi đó \(\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)\left( {1 - d} \right) > 1 - a - b - c - d\).