Đề bài
Cho 0<a,b,c,d<1. Chứng minh rằng:
(1−a)(1−b)(1−c)(1−d)>1−a−b−c−d.
Phương pháp giải
Chứng minh (1−a)(1−b)>1−a−b.
Tiếp tục chứng minh (1−a)(1−b)(1−c)>1−a−b−c.
Cuối cùng chứng minh (1−a)(1−b)(1−c)(1−d)>1−a−b−c−d.
Ta có: (1−a)(1−b)=1−a−b+ab.
Vì 0<a,b nên 1−a−b+ab>1−a−b.
Vì c<1 nên 1−c>0, suy ra (1−a)(1−b)(1−c)>(1−a−b)(1−c).
Ta có: (1−a−b)(1−c)=1−a−b−c+ac+bc.
Vì 0<a,b,c nên 1−a−b−c+ac+bc>1−a−b−c.
Lại có d<1 nên 1−d>0, suy ra (1−a)(1−b)(1−c)(1−d)>(1−a−b−c)(1−d)
Ta có: (1−a−b−c)(1−d)=1−a−b−c−d+ad+bd+cd.
Vì 0<a,b,c,d nên 1−a−b−c−d+ad+bd+cd>1−a−b−c−d.
Khi đó (1−a)(1−b)(1−c)(1−d)>1−a−b−c−d.