Cho \(0 1 - A — Không quảng cáo

Cho \(0 1 - A


Đề bài

Cho \(0 < a,b,c,d < 1\). Chứng minh rằng:

\(\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)\left( {1 - d} \right) > 1 - a - b - c - d\).

Phương pháp giải

Chứng minh \(\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right) > 1 - a - b\).

Tiếp tục chứng minh \(\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right) > 1 - a - b - c\).

Cuối cùng chứng minh \(\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)\left( {1 - d} \right) > 1 - a - b - c - d\).

Ta có: \(\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right) = 1 - a - b + ab\).

Vì \(0 < a,b\) nên \(1 - a - b + ab > 1 - a - b\).

Vì \(c < 1\) nên \(1 - c > 0\), suy ra \(\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right) > \left( {1 - a - b} \right)\left( {1 - c} \right)\).

Ta có: \(\left( {1 - a - b} \right)\left( {1 - c} \right) = 1 - a - b - c + ac + bc\).

Vì \(0 < a,b,c\) nên \(1 - a - b - c + ac + bc > 1 - a - b - c\).

Lại có \(d < 1\) nên \(1 - d > 0\), suy ra \(\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)\left( {1 - d} \right) > \left( {1 - a - b - c} \right)\left( {1 - d} \right)\)

Ta có: \(\left( {1 - a - b - c} \right)\left( {1 - d} \right) = 1 - a - b - c - d + ad + bd + cd\).

Vì \(0 < a,b,c,d\) nên \(1 - a - b - c - d + ad + bd + cd > 1 - a - b - c - d\).

Khi đó \(\left( {1 - a} \right)\left( {1 - b} \right)\left( {1 - c} \right)\left( {1 - d} \right) > 1 - a - b - c - d\).