Processing math: 100%

Cho 1/a + 1/b + 1/c = 1/a + b + c. Chứng minh rằng — Không quảng cáo

Cho 1a+1b+1c=1a+b+c Chứng minh rằng 1a2023+1b2023+1c2023=1a2023+b2023+c2023


Đề bài

Cho 1a+1b+1c=1a+b+c. Chứng minh rằng:

1a2023+1b2023+1c2023=1a2023+b2023+c2023.

Phương pháp giải

Từ 1a+1b+1c=1a+b+c, sử dụng quy tắc tính với phân thức, đa thức để rút gọn tìm ra a, b, c.

Theo đề bài ta có:

1a+1b+1c=1a+b+c

bc+ac+ababc=1a+b+c(bc+ac+ab)(a+b+c)=abcbc(a+b)+bc2+ac(a+b)+ac2+ab(a+b)+abcabc=0bc(a+b)+ac(a+b)+ab(a+b)+(bc2+ac2)=0bc(a+b)+ac(a+b)+ab(a+b)+c2(a+b)=0(bc+ac+ab+c2)(a+b)=0[(bc+ab)+(ac+c2)](a+b)=0[b(a+c)+c(a+c)](a+b)=0(b+c)(a+c)(a+b)=0[b+c=0a+c=0a+b=0[b=ca=ca=b

Trường hợp 1. Với b=c, ta có:

VT=1a2023+1b2023+1c2023=1a2023+1(c)2023+1c2023=1a20231c2023+1c2023=1a2023

VP=1a2023+b2023+c2023=1a2023+(c)2023+c2023=1a2023c2023+c2023=1a2023

VT=VP hay 1a2023+1b2023+1c2023=1a2023+b2023+c2023

Học sinh tự chứng minh tương tự cho trường hợp a=c a=b .