Cho 1a+1b+1c=1a+b+c. Chứng minh rằng:
1a2023+1b2023+1c2023=1a2023+b2023+c2023.
Từ 1a+1b+1c=1a+b+c, sử dụng quy tắc tính với phân thức, đa thức để rút gọn tìm ra a, b, c.
Theo đề bài ta có:
1a+1b+1c=1a+b+c
bc+ac+ababc=1a+b+c(bc+ac+ab)(a+b+c)=abcbc(a+b)+bc2+ac(a+b)+ac2+ab(a+b)+abc−abc=0bc(a+b)+ac(a+b)+ab(a+b)+(bc2+ac2)=0bc(a+b)+ac(a+b)+ab(a+b)+c2(a+b)=0(bc+ac+ab+c2)(a+b)=0[(bc+ab)+(ac+c2)](a+b)=0[b(a+c)+c(a+c)](a+b)=0(b+c)(a+c)(a+b)=0⇒[b+c=0a+c=0a+b=0⇒[b=−ca=−ca=−b
Trường hợp 1. Với b=−c, ta có:
VT=1a2023+1b2023+1c2023=1a2023+1(−c)2023+1c2023=1a2023−1c2023+1c2023=1a2023
VP=1a2023+b2023+c2023=1a2023+(−c)2023+c2023=1a2023−c2023+c2023=1a2023
⇒VT=VP hay 1a2023+1b2023+1c2023=1a2023+b2023+c2023
Học sinh tự chứng minh tương tự cho trường hợp a=−c và a=−b .