Cho \(A = \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right).\frac{{3x - 3}}{2}\) với \(x \ne \pm 1\).
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 2.
c) Với giá trị nguyên nào của x thì A nhận giá trị nguyên.
a) Sử dụng các phép tính với phân thức để rút gọn A.
b) Kiểm tra điều kiện của x. Thay x = 2 vào A để tính A.
c) Để A nhận giá trị nguyên thì tử thức chia hết cho mẫu thức. Từ đó tìm giá trị của x.
a) Với \(x \ne \pm 1\), ta có:
\(\begin{array}{l}A = \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{1}{{x + 1}}} \right).\frac{{3x - 3}}{2}\\ = \frac{{\left( {x + 1} \right) - \left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{2}\\ = \frac{{x + 1 - x + 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{2}\\ = \frac{2}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{3\left( {x - 1} \right)}}{2}\\ = \frac{3}{{x + 1}}\end{array}\)
b) Ta có: \(x = 2\) (tmđk) nên thay \(x = 2\) vào biểu thức A, ta được:
\(A = \frac{3}{{2 + 1}} = \frac{3}{3} = 1\).
Vậy A = 1 khi x = 2.
c) Để A nhận giá trị nguyên thì \(3 \vdots \left( {x + 1} \right)\) hay \(x + 1 \in U\left( 3 \right)\). \(U\left( 3 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 3} \right\}\). Ta có bảng giá trị sau:
Vậy \(x \in \left\{ { - 4; - 2;0;2} \right\}\) thì biểu thức A nhận giá trị nguyên.