Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng:
Nếu \(\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0\) và \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) thì \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1\).
Biến đổi \(\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0\) và \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\) để có đpcm.
Sử dụng hằng đẳng thức nâng cao: \({\left( {A + B + C} \right)^2} = {A^2} + {B^2} + {C^2} + 2AB + 2AC + 2BC\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}\frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z} = 0\\\frac{{ayz + bxz + cxy}}{{xyz}} = 0\\ \Rightarrow ayz + bxz + cxy = 0\end{array}\)
Ta lại có:
\(\begin{array}{l}\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\\ \Rightarrow {\left( {\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c}} \right)^2} = 1\\{\left( {\frac{x}{a}} \right)^2} + {\left( {\frac{y}{b}} \right)^2} + {\left( {\frac{z}{c}} \right)^2} + 2.\frac{x}{a}.\frac{y}{b} + 2.\frac{x}{a}.\frac{z}{c} + 2.\frac{y}{b}.\frac{z}{c} = 1\\{\left( {\frac{x}{a}} \right)^2} + {\left( {\frac{y}{b}} \right)^2} + {\left( {\frac{z}{c}} \right)^2} + 2\left( {\frac{{xy}}{{ab}} + \frac{{xz}}{{ac}} + \frac{{yz}}{{bc}}} \right) = 1\\\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} + 2\left( {\frac{{xyc + bxz + ayz}}{{abc}}} \right) = 1\\\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} + 2.\frac{0}{{abc}} = 1\\\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{c^2}}} = 1\end{array}\)
Ta được điều phải chứng minh.