Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác 0. Chứng — Không quảng cáo

Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác 0 Chứng minh rằng Nếu ax+by+cz=0 và \(\frac{x}{a} +


Đề bài

Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng:

Nếu ax+by+cz=0xa+yb+zc=1 thì x2a2+y2b2+z2c2=1.

Phương pháp giải

Biến đổi ax+by+cz=0xa+yb+zc=1 để có đpcm.

Sử dụng hằng đẳng thức nâng cao: (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC.

Ta có:

ax+by+cz=0ayz+bxz+cxyxyz=0ayz+bxz+cxy=0

Ta lại có:

xa+yb+zc=1(xa+yb+zc)2=1(xa)2+(yb)2+(zc)2+2.xa.yb+2.xa.zc+2.yb.zc=1(xa)2+(yb)2+(zc)2+2(xyab+xzac+yzbc)=1x2a2+y2b2+z2c2+2(xyc+bxz+ayzabc)=1x2a2+y2b2+z2c2+2.0abc=1x2a2+y2b2+z2c2=1

Ta được điều phải chứng minh.