Đề bài
Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác 0. Chứng minh rằng:
Nếu ax+by+cz=0 và xa+yb+zc=1 thì x2a2+y2b2+z2c2=1.
Phương pháp giải
Biến đổi ax+by+cz=0 và xa+yb+zc=1 để có đpcm.
Sử dụng hằng đẳng thức nâng cao: (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC.
Ta có:
ax+by+cz=0ayz+bxz+cxyxyz=0⇒ayz+bxz+cxy=0
Ta lại có:
xa+yb+zc=1⇒(xa+yb+zc)2=1(xa)2+(yb)2+(zc)2+2.xa.yb+2.xa.zc+2.yb.zc=1(xa)2+(yb)2+(zc)2+2(xyab+xzac+yzbc)=1x2a2+y2b2+z2c2+2(xyc+bxz+ayzabc)=1x2a2+y2b2+z2c2+2.0abc=1x2a2+y2b2+z2c2=1
Ta được điều phải chứng minh.