Cho A = x + 1/x - 2 + x - 1/x + 2 + x^2 + 4x/4 - X^2 với x — Không quảng cáo

Phương pháp giải

a) Quy đồng mẫu thức để rút gọn biểu thức.

b) Thay $x = 4$ vào $A$ để tính giá trị.

c) Ta biến đổi để đưa A về dạng $A = m + \frac{a}{B}$ với m và a là số nguyên.

Khi đó A có giá trị nguyên khi $a \vdots B$ hay $B \in$ Ư(a).

a) Với $x \ne  \pm 2$, ta có:

$A = \frac{{x + 1}}{{x - 2}} + \frac{{x - 1}}{{x + 2}} + \frac{{{x^2} + 4x}}{{4 - {x^2}}}$

$= \frac{{x + 1}}{{x - 2}} + \frac{{x - 1}}{{x + 2}} - \frac{{{x^2} + 4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

$= \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{{x^2} + 4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

$= \frac{{{x^2} + 3x + 2 + {x^2} - 3x + 2 - {x^2} - 4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}$

$= \frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}$.

Vậy với $x \ne  \pm 2$ ta có $A = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}.$

b) Thay $x = 4$ (thỏa mãn) vào biểu thức $A$ ta có: $A = \frac{{4 - 2}}{{4 + 2}} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.$

c) Với $x \ne  \pm 2$ và $x \in \mathbb{Z}$ ta có: $A = \frac{{x - 2}}{{x + 2}} = \frac{{x + 2 - 4}}{{x + 2}} = 1 - \frac{4}{{x + 2}}$

Ta có $1 \in \mathbb{Z}$ nên để $A = 1 - \frac{4}{{x + 2}}$ nhận giá trị nguyên thì $\frac{4}{{x + 2}} \in \mathbb{Z}$,

suy ra $4 \vdots \left( {x + 2} \right)$

hay $\left( {x + 2} \right) \in$Ư$\left( 4 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 2; \pm 4} \right\}$

Ta có bảng sau:

Vậy $x \in \left\{ { - 3; - 4; - 6} \right\}.$