Cho ax^3 = by^3 = cz^3 và 1/x + 1/y + 1/z = 1 với x, y, z — Không quảng cáo

Phương pháp giải

$\sqrt[n]{{{a^n}}} = a$ nếu n là số lẻ.

Đặt $A = \sqrt[3]{{a{x^2} + b{y^2} + c{z^2}}}$.

Ta có: $A = \sqrt[3]{{a{x^2} + b{y^2} + c{z^2}}} = \sqrt[3]{{\frac{{a{x^3}}}{x} + \frac{{b{y^3}}}{y} + \frac{{c{z^3}}}{z}}} = \sqrt[3]{{\frac{{a{x^3}}}{x} + \frac{{a{x^3}}}{y} + \frac{{a{x^3}}}{z}}} = \sqrt[3]{{a{x^3}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right)}}$

$= \sqrt[3]{{a{x^3}}} = x\sqrt[3]{a}$$\Rightarrow \sqrt[3]{a} = \frac{A}{x}$ (1)

Chứng minh tương tự ta có: $\sqrt[3]{b} = \frac{A}{y}\left( 2 \right);\sqrt[3]{c} = \frac{A}{z}\left( 3 \right)$

Cộng vế với vế của (1), (2) và (3) ta có:

$\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c} = \frac{A}{x} + \frac{A}{y} + \frac{A}{z} = A\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z}} \right) = A = \sqrt[3]{{a{x^2} + b{y^2} + c{z^2}}}$

Vậy $\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b} + \sqrt[3]{c} = \sqrt[3]{{a{x^2} + b{y^2} + c{z^2}}}$