Đề bài
Cho \(B = 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{100}}\)
Tìm số tự nhiên n, biết rằng \(2B + 3 = {3^n}\)
Phương pháp giải
Từ B tính \(3B\).
Thực hiện phép tính \(3B - B\) để có \(2B\).
Cộng 3, ta được \(2B + 3\).
Mà \(2B + 3 = {3^n}\) nên ta tính được n.
Ta có: \(B\;\; = 3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{99}} + {3^{100}}\)
Suy ra \(3B\; = {3^2} + {3^3} + ... + {3^{100}} + {3^{101}}\)
Lấy 3B trừ B ta được:
\(\begin{array}{l}3B\; - B\; = {3^2} + {3^3} + ... + {3^{100}} + {3^{101}} - \left( {3 + {3^2} + {3^3} + ... + {3^{99}} + {3^{100}}} \right)\\2B = {3^{101}} - 3\end{array}\)
Do đó: \(2B + 3 = {3^{101}}\).
Theo đề bài \(2B + 3 = {3^n}\) nên \(n = 101\).
Vậy \(n = 101\).