Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn: Ab/a + b = bc/b + c = — Không quảng cáo

Phương pháp giải

Biến đổi $\frac{{ab}}{{a + b}} = \frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{ca}}{{c + a}}$ thành $\frac{{a + b}}{{ab}} = \frac{{b + c}}{{bc}} = \frac{{a + c}}{{ac}}$ và rút gọn để tìm a, b, c.

Thay a, b, c vào M để tính giá trị của M.

Ta có:$\frac{{ab}}{{a + b}} = \frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{ac}}{{a + c}}$

$\frac{{a + b}}{{ab}} = \frac{{b + c}}{{bc}} = \frac{{a + c}}{{ac}}$

$\frac{a}{{ab}} + \frac{b}{{ab}} = \frac{b}{{bc}} + \frac{c}{{bc}} = \frac{a}{{ac}} + \frac{c}{{ac}}$

suy ra $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$

Ta có $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

$\frac{1}{a} = \frac{1}{c}$ suy ra  $a = c$ (1)

$\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$

$\frac{1}{a} = \frac{1}{b}$ suy ra  $a = b$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra  a = b = c

Thay vào M, ta được:

$\begin{array}{l}M = \frac{{2ab + 3bc + ca}}{{2{a^2} + 3{b^2} + {c^2}}}\\M = \frac{{2.a.a + 3.a.a + a.a}}{{2{a^2} + 3{a^2} + {a^2}}}\\M = \frac{{6{a^2}}}{{6{a^2}}} = 1\end{array}$

Vậy M = 1.