Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn: \(\frac{{ab}}{{a + b}} = \frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{ca}}{{c + a}}\).
Tính giá trị của biểu thức \(M = \frac{{2ab + 3bc + ca}}{{2{a^2} + 3{b^2} + {c^2}}}\).
Biến đổi \(\frac{{ab}}{{a + b}} = \frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{ca}}{{c + a}}\) thành \(\frac{{a + b}}{{ab}} = \frac{{b + c}}{{bc}} = \frac{{a + c}}{{ac}}\) và rút gọn để tìm a, b, c.
Thay a, b, c vào M để tính giá trị của M.
Ta có:\(\frac{{ab}}{{a + b}} = \frac{{bc}}{{b + c}} = \frac{{ac}}{{a + c}}\)
\(\frac{{a + b}}{{ab}} = \frac{{b + c}}{{bc}} = \frac{{a + c}}{{ac}}\)
\(\frac{a}{{ab}} + \frac{b}{{ab}} = \frac{b}{{bc}} + \frac{c}{{bc}} = \frac{a}{{ac}} + \frac{c}{{ac}}\)
suy ra \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}\)
Ta có \(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\)
\(\frac{1}{a} = \frac{1}{c}\) suy ra \(a = c\) (1)
\(\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}\)
\(\frac{1}{a} = \frac{1}{b}\) suy ra \(a = b\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra a = b = c
Thay vào M, ta được:
\(\begin{array}{l}M = \frac{{2ab + 3bc + ca}}{{2{a^2} + 3{b^2} + {c^2}}}\\M = \frac{{2.a.a + 3.a.a + a.a}}{{2{a^2} + 3{a^2} + {a^2}}}\\M = \frac{{6{a^2}}}{{6{a^2}}} = 1\end{array}\)
Vậy M = 1.