Đề bài
Cho ba số thực a,b,c đôi một phân biệt. Khẳng định nào sau đây là đúng?
-
A.
a2(b−c)2+b2(c−a)2+c2(a−b)2≤0
-
B.
a2(b−c)2+b2(c−a)2+c2(a−b)2=1
-
C.
a2(b−c)2+b2(c−a)2+c2(a−b)2≥2
-
D.
a2(b−c)2+b2(c−a)2+c2(a−b)2>4
Phương pháp giải
Sử dụng công thức ab(b−c)(c−a)+bc(c−a)(a−b)+ac(a−b)(b−c)=−1.
a2(b−c)2+b2(c−a)2+c2(a−b)2=(ab−c)2+(bc−a)2+(ca−b)2=(ab−c+bc−a+ca−b)2−2[ab(b−c)(c−a)+bc(c−a)(a−b)+ca(a−b)(b−c)]≥−2[ab(b−c)(c−a)+bc(c−a)(a−b)+ca(a−b)(b−c)]
(Vì (ab−c+bc−a+ca−b)2≥0∀a,b,c đôi một khác nhau)
Mà ab(b−c)(c−a)+bc(c−a)(a−b)+ac(a−b)(b−c)
=ab(a−b)+bc(b−c)+ac(c−a)(a−b)(b−c)(c−a)=ab(a−b)+bc(b−c)+ac(c−b+b−a)(a−b)(b−c)(c−a)=(ab−ac)(a−b)+(bc−ac)(b−c)(a−b)(b−c)(c−a)=a(b−c)(a−b)−c(a−b)(b−c)(a−b)(b−c)(c−a)=(a−c)(a−b)(b−c)(a−b)(b−c)(c−a)=−1
⇒a2(b−c)2+b2(c−a)2+c2(a−b)2≥−2[ab(b−c)(c−a)+bc(c−a)(a−b)+ca(a−b)(b−c)]=(−2)(−1)=2
Đáp án : C