Cho ba số thực a, b, c khác 2 thỏa mãn a + b + c = 6. Tính giá trị của biểu thức:
\(M = \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {b - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {c - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right)}}\)
Quy đồng mẫu các phân thức của biểu thức M.
Đặt a – 2 = x, b – 2 = y, c – 2 = z.
Thay vào M ta được \(M = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{xyz}}\).
Từ a + b + c = 6 suy ra x + y + z = 0
Biến đổi để tính M.
Ta có: \(M = \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {b - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {c - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right)}}\)
\( = \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^3} + {{\left( {b - 2} \right)}^3} + {{\left( {c - 2} \right)}^3}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}}\)
Đặt a – 2 = x, b – 2 = y, c – 2 = z, biểu thức \(M\) trở thành:
\(M = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{xyz}}\)
Mặt khác, từ a + b + c = 6 suy ra \(\left( {a - 2} \right) + \left( {b - 2} \right) + \left( {c - 2} \right) = 0\) hay \(x + y + z = 0\).
Suy ra
\(\begin{array}{l}x + y = - z\\{\left( {x + y} \right)^3} = {\left( { - z} \right)^3}\\{x^3} + {y^3} + 3xy\left( {x + y} \right) = - {z^3}\\{x^3} + {y^3} + 3xy\left( { - z} \right) = - {z^3}\\{x^3} + {y^3} + {z^3} = 3xyz\end{array}\)
Thay vào M ta được:
\(M = \frac{{3xyz}}{{xyz}} = 3\)
Vậy \(M = 3\).