Cho ba số thực a, b, c khác 2 thỏa mãn a + b + c = 6. Tính — Không quảng cáo

Phương pháp giải

Quy đồng mẫu các phân thức của biểu thức M.

Đặt a – 2 = x, b – 2 = y, c – 2 = z.

Thay vào M ta được $M = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{xyz}}$.

Từ a + b + c = 6 suy ra x + y + z = 0

Biến đổi để tính M.

Ta có: $M = \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}{{\left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {b - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}} + \frac{{{{\left( {c - 2} \right)}^2}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right)}}$

$= \frac{{{{\left( {a - 2} \right)}^3} + {{\left( {b - 2} \right)}^3} + {{\left( {c - 2} \right)}^3}}}{{\left( {a - 2} \right)\left( {b - 2} \right)\left( {c - 2} \right)}}$

Đặt a – 2 = x, b – 2 = y, c – 2 = z, biểu thức $M$ trở thành:

$M = \frac{{{x^3} + {y^3} + {z^3}}}{{xyz}}$

Mặt khác, từ a + b + c = 6 suy ra $\left( {a - 2} \right) + \left( {b - 2} \right) + \left( {c - 2} \right) = 0$ hay $x + y + z = 0$.

Suy ra

$\begin{array}{l}x + y =  - z\\{\left( {x + y} \right)^3} = {\left( { - z} \right)^3}\\{x^3} + {y^3} + 3xy\left( {x + y} \right) =  - {z^3}\\{x^3} + {y^3} + 3xy\left( { - z} \right) =  - {z^3}\\{x^3} + {y^3} + {z^3} = 3xyz\end{array}$

Thay vào M ta được:

$M = \frac{{3xyz}}{{xyz}} = 3$

Vậy $M = 3$.