Cho biểu thức A = 1/x - 2 - 2x/4 - X^2 + 1/2 + x. 2/x - 1 a — Không quảng cáo

Phương pháp giải

a) Tìm điều kiện để các phân thức xác định. Sử dụng các quy tắc tính với phân thức đại số để rút gọn A.

b) Tìm x thỏa mãn ${x^2} + 3x = 0$. Thay x vừa tìm được để tính giá trị của A.

c) Thay $A = \frac{1}{2}$ để tìm x.

d) Để A nguyên dương thì tử thức phải chia hết cho mẫu thức, tử thức và mẫu thức phải cùng dấu.

a) ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}x - 2 \ne 0\\4 - {x^2} \ne 0\\2 + x \ne 0\\x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne 2\\x \ne - 2\\x \ne 0\end{array} \right.$

Ta có: $A = \left( {\frac{1}{{x - 2}} - \frac{{2x}}{{4 - {x^2}}} + \frac{1}{{2 + x}}} \right).\left( {\frac{2}{x} - 1} \right)$

$\begin{array}{l} = \left( {\frac{1}{{x - 2}} + \frac{{2x}}{{{x^2} - 4}} + \frac{1}{{x + 2}}} \right).\left( {\frac{{2 - x}}{x}} \right)\\ = \left( {\frac{{x + 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{2x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}} \right).\left( {\frac{{2 - x}}{x}} \right)\\ = \frac{{x + 2 + 2x + x - 2}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.\frac{{2 - x}}{x}\\ = \frac{{4x}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}.\frac{{2 - x}}{x}\\ = \frac{{ - 4}}{{x + 2}}\end{array}$

Vậy $A = \frac{{ - 4}}{{x + 2}}$.

b) Ta có: ${x^2} + 3x = 0$

$\begin{array}{l}x\left( {x + 3} \right) = 0\\\left[ \begin{array}{l}x = 0\,\left( L \right)\\x =  - 3\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Thay $x =  - 3$ vào A, ta được:

$A = \frac{{ - 4}}{{ - 3 + 2}} = \frac{{ - 4}}{{ - 1}} = 4$

Vậy $A = 4$ tại x thỏa mãn: ${x^2} + 3x = 0$.

c) Để $A = \frac{1}{2}$ thì $\frac{{ - 4}}{{x + 2}} = \frac{1}{2}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow  - 4.2 = x + 2\\x + 2 =  - 8\\x =  - 10\end{array}$

Vậy $x =  - 10$ thì $A = \frac{1}{2}$.

d) Đề A nguyên dương thì $\frac{{ - 4}}{{x + 2}}$ nguyên dương $\Rightarrow - 4 \vdots \left( {x + 2} \right)$ và $x + 2 < 0$ hay $\left( {x + 2} \right) \in$ Ước nguyên âm của -4.

Mà Ước âm của -4 là: $\left\{ { - 1; - 2; - 4} \right\}$

Ta có bảng giá trị sau:

Vậy các giá trị của x để A nguyên dương là: $x \in \left\{ { - 6; - 4; - 3} \right\}$.