Cho biểu thức : \(A = \frac{1}{{x + 4}} + \frac{x}{{x - 4}} + \frac{{24 - {x^2}}}{{{x^2} - 16}}\)
a) Viết điều kiện xác định của biểu thức A.
b) Chứng minh \(A = \frac{5}{{x - 4}}\).
c) Tính giá trị của biểu thức A tại x = 10.
d) Tìm các số nguyên x để giá trị của biểu thức A là số nguyên.
a) Kiểm tra điều kiện của mẫu thức.
b) Rút gọn biểu thức A.
c) Thay x = 10 để tính giá trị biểu thức.
d) Để biểu thức A nguyên thì mẫu thức phải là ước của tử thức.
a) Điều kiện xác định của biểu thức A là:
\(\left\{ \begin{array}{l}x + 4 \ne 0\\x - 4 \ne 0\\{x^2} - 16 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne - 4\\x \ne 4\end{array} \right.\)
Vậy điều kiện xác định của biểu thức A là \(x \ne \pm 4\).
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}A = \frac{1}{{x + 4}} + \frac{x}{{x - 4}} + \frac{{24 - {x^2}}}{{{x^2} - 16}}\\ = \frac{{x - 4}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}} + \frac{{x\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}} + \frac{{24 - {x^2}}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}}\\ = \frac{{x - 4 + {x^2} + 4x + 24 - {x^2}}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}}\\ = \frac{{5x + 20}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}}\\ = \frac{{5\left( {x + 4} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 4} \right)}}\\ = \frac{5}{{x - 4}}\end{array}\)
c) Tại x = 10 (thỏa mãn điều kiện xác định), ta được: \(A = \frac{5}{{10 - 4}} = \frac{5}{6}\).
d) Biểu thức A nguyên \( \Leftrightarrow \frac{5}{{x - 4}}\) nguyên. \(\frac{5}{{x - 4}}\) nguyên khi và chỉ khi \(\left( {x - 4} \right) \in U\left( 5 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 5} \right\}\).
Ta có bảng giá trị sau:
|
x – 4 |
-1 |
1 |
-5 |
5 |
|
x |
3 (TM) |
5 (TM) |
-1 (TM) |
9 (TM) |
|
\(A = \frac{5}{{x - 4}}\) |
-5 |
5 |
-1 |
1 |