Cho biểu thức \(M = \frac{{2\left( {1 - 9{x^2}} \right)}}{{3{x^2} + 6x}}:\frac{{2 - 6x}}{{3x}}\).
a) Rút gọn M.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để M có giá trị nguyên.
a) Xác định điều kiện xác định của M. Sử dụng các quy tắc tính của phân thức để rút gọn M.
b) Để phân thức M nguyên thì tử thức chia hết cho mẫu thức.
a) Ta có: \(M = \frac{{2\left( {1 - 9{x^2}} \right)}}{{3{x^2} + 6x}}:\frac{{2 - 6x}}{{3x}}\left( {x \ne 0;x \ne - 2} \right)\)
\(\begin{array}{l} = \frac{{2\left( {1 - 3x} \right)\left( {1 + 3x} \right)}}{{3x\left( {x + 2} \right)}}:\frac{{2(1 - 3x)}}{{3x}}\\ = \frac{{2\left( {1 - 3x} \right)\left( {1 + 3x} \right)}}{{3x\left( {x + 2} \right)}}.\frac{{3x}}{{2\left( {1 - 3x} \right)}}\\ = \frac{{1 + 3x}}{{x + 2}}\end{array}\)
Vậy \(M = \frac{{1 + 3x}}{{x + 2}}\).
b) Ta có: \(M = \frac{{1 + 3x}}{{x + 2}} = \frac{{3x + 6 - 5}}{{x + 2}} = 3 - \frac{5}{{x + 2}}\)
Để M nguyên thì \(\frac{5}{{x + 2}}\) nguyên, hay \(\left( {x + 2} \right) \in U\left( 5 \right) = \left\{ { \pm 1; \pm 5} \right\}\).
Ta có bảng giá trị sau:
|
x + 2 |
-1 |
1 |
-5 |
5 |
|
x |
-3 (TM) |
-1 (TM) |
-7 (TM) |
3 (TM) |
|
\(M = \frac{{1 + 3x}}{{x + 2}}\) |
8 |
-2 |
4 |
2 |
Vậy \(x \in \left\{ { - 3; - 2; - 7;3} \right\}\) thì M có giá trị nguyên.