Cho các biểu thức \(P = \frac{1}{{x + 5}} + \frac{2}{{x - 5}} - \frac{{2x + 10}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}\); \(Q = \frac{{x - 4}}{{{x^2} - 25}}\) với \(x \ne \pm 5\).
a) Tính giá trị Q với \(x = 6\).
b) Rút gọn biểu thức P.
c) Đặt \(A = \frac{Q}{P}\). Tìm các giá trị nguyên của x để A nhận giá trị nguyên.
a) Kiểm tra điều kiện của x, nếu thỏa mãn thì thay giá trị của x vào Q để tính Q.
b) Sử dụng các quy tắc tính với phân thức để rút gọn P.
c) Tính \(A = \frac{Q}{P}\). Để A nguyên thì tử thức chia hết cho mẫu thức.
a) Ta có x = 6 thỏa mãn điều kiện nên thay x = 6 vào Q, ta được:
\(Q = \frac{{6 - 4}}{{{6^2} - 25}} = \frac{2}{{11}}\)
Vậy \(Q = \frac{2}{{11}}\) với \(x = 6\).
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}P = \frac{1}{{x + 5}} + \frac{2}{{x - 5}} - \frac{{2x + 10}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}\\ = \frac{1}{{x + 5}} + \frac{2}{{x - 5}} - \frac{{2\left( {x + 5} \right)}}{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}}\\ = \frac{1}{{x + 5}} + \frac{2}{{x - 5}} - \frac{2}{{x - 5}}\\ = \frac{1}{{x + 5}}\end{array}\)
Vậy \(P = \frac{1}{{x + 5}}\).
c) Ta có:
\(\begin{array}{l}A = \frac{Q}{P} = \frac{1}{{x + 5}}:\frac{{x - 4}}{{{x^2} - 25}}\\ = \frac{1}{{x + 5}}.\frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 5} \right)}}{{x - 4}}\\ = \frac{{x - 5}}{{x - 4}}\end{array}\)
\(A = \frac{{x - 5}}{{x - 4}} = \frac{{x - 4 - 1}}{{x - 4}} = 1 - \frac{1}{{x - 4}}\).
Để A nguyên thì \(\frac{1}{{x - 4}}\) là số nguyên hay \(1 \vdots \left( {x - 4} \right)\) \( \Rightarrow \left( {x - 4} \right) \in \) Ư(1); Ư(1) = \(\left\{ { \pm 1} \right\}\).
Với x – 4 = 1 \( \Rightarrow \) x = 5 (không thỏa mãn)
Với x – 4 = -1 \( \Rightarrow \) x = 3 (thỏa mãn)
Vậy với x = 3 thì A nguyên.