Cho đa thức P x bậc 3 và có 3 nghiệm phân biệt x1,x2,x3 — Không quảng cáo

Phương pháp giải

+) Do $P\left( x \right)$ bậc 3 và có 3 nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2},{x_3}$ nên $P\left( x \right)$ được biểu diễn dưới dạng $P\left( x \right) = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a \ne 0} \right)$.

+) Tính $P'\left( x \right)$, từ đó tính $P'\left( {{x_1}} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} P'\left( {{x_2}} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} P'\left( {{x_3}} \right)$.

+) Thay vào biểu thức $\frac{1}{{P'\left( {{x_1}} \right)}} + \frac{1}{{P'\left( {{x_2}} \right)}} + \frac{1}{{P'\left( {{x_3}} \right)}}$. Quy đồng và rút gọn.

Do $P\left( x \right)$ bậc 3 và có 3 nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2},{x_3}$ nên $P\left( x \right)$ được biểu diễn dưới dạng $P\left( x \right) = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a \ne 0} \right)$.

Ta có: $P'\left( x \right) = a\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right) + a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_3}} \right) + a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)$

$\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{P\left( {{x_1}} \right) = a\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_3}} \right)}\\{P\left( {{x_2}} \right) = a\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right)}\\{P\left( {{x_3}} \right) = a\left( {{x_3} - {x_1}} \right)\left( {{x_3} - {x_2}} \right)}\end{array}} \right.}\\{ \Rightarrow \frac{1}{{P'\left( {{x_1}} \right)}} + \frac{1}{{P'\left( {{x_2}} \right)}} + \frac{1}{{P'\left( {{x_3}} \right)}}}\\{ = \frac{1}{{a\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_3}} \right)}} + \frac{1}{{a\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right)}} + \frac{1}{{a\left( {{x_3} - {x_1}} \right)\left( {{x_3} - {x_2}} \right)}}}\\{ = \frac{{ - {x_2} + {x_3} - {x_3} + {x_1} - {x_1} + {x_2}}}{{a\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right)\left( {{x_3} - {x_1}} \right)}} = 0}\end{array}$

Đáp án C.