Cho đa thức \(P\left( x \right)\) bậc 3 và có 3 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\). Tính \(\frac{1}{{P'\left( {{x_1}} \right)}} + \frac{1}{{P'\left( {{x_2}} \right)}} + \frac{1}{{P'\left( {{x_3}} \right)}}\)
-
A.
\(1\)
-
B.
\( - 1\)
-
C.
\(0\)
-
D.
Không xác định
+) Do \(P\left( x \right)\) bậc 3 và có 3 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\) nên \(P\left( x \right)\) được biểu diễn dưới dạng \(P\left( x \right) = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a \ne 0} \right)\).
+) Tính \(P'\left( x \right)\), từ đó tính \(P'\left( {{x_1}} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} P'\left( {{x_2}} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} P'\left( {{x_3}} \right)\).
+) Thay vào biểu thức \(\frac{1}{{P'\left( {{x_1}} \right)}} + \frac{1}{{P'\left( {{x_2}} \right)}} + \frac{1}{{P'\left( {{x_3}} \right)}}\). Quy đồng và rút gọn.
Do \(P\left( x \right)\) bậc 3 và có 3 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2},{x_3}\) nên \(P\left( x \right)\) được biểu diễn dưới dạng \(P\left( x \right) = a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {a \ne 0} \right)\).
Ta có: \(P'\left( x \right) = a\left( {x - {x_2}} \right)\left( {x - {x_3}} \right) + a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_3}} \right) + a\left( {x - {x_1}} \right)\left( {x - {x_2}} \right)\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{P\left( {{x_1}} \right) = a\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_3}} \right)}\\{P\left( {{x_2}} \right) = a\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right)}\\{P\left( {{x_3}} \right) = a\left( {{x_3} - {x_1}} \right)\left( {{x_3} - {x_2}} \right)}\end{array}} \right.}\\{ \Rightarrow \frac{1}{{P'\left( {{x_1}} \right)}} + \frac{1}{{P'\left( {{x_2}} \right)}} + \frac{1}{{P'\left( {{x_3}} \right)}}}\\{ = \frac{1}{{a\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} - {x_3}} \right)}} + \frac{1}{{a\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right)}} + \frac{1}{{a\left( {{x_3} - {x_1}} \right)\left( {{x_3} - {x_2}} \right)}}}\\{ = \frac{{ - {x_2} + {x_3} - {x_3} + {x_1} - {x_1} + {x_2}}}{{a\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_2} - {x_3}} \right)\left( {{x_3} - {x_1}} \right)}} = 0}\end{array}\)
Đáp án C.
Đáp án : C