Cho dãy số un: Arraylu1 = 2\un + 1 = - Un + 1/2un,n >= 1,n — Không quảng cáo

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1}$ và công bội q thì số hạng tổng quát ${u_n}$ của nó được xác định theo công thức: ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}},n \ge 2$.

Với mọi $n \ge 1,n \in \mathbb{N}$ ta có: ${u_{n + 1}} = \frac{{ - {u_n} + 1}}{{2{u_n}}} \Rightarrow {u_{n + 1}} + 1 = \frac{{ - {u_n} + 1}}{{2{u_n}}} + 1 = \frac{{{u_n} + 1}}{{2{u_n}}}$

$\Rightarrow \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}} = \frac{{2{u_n}}}{{{u_n} + 1}} =  - \frac{2}{{{u_n} + 1}} + 2 \Rightarrow \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}} - \frac{2}{3} =  - \frac{2}{{{u_n} + 1}} + \frac{4}{3} =  - 2\left( {\frac{1}{{{u_n} + 1}} - \frac{2}{3}} \right)$

Đặt ${v_n} = \frac{1}{{{u_n} + 1}} - \frac{2}{3}$ với mọi $n \ge 1,n \in \mathbb{N}$ $\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{v_{n + 1}} = \frac{1}{{{u_{n + 1}} + 1}} - \frac{2}{3},n \ge 1,n \in \mathbb{N}\\{v_1} = \frac{1}{{{u_1} + 1}} - \frac{2}{3} = \frac{{ - 1}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{v_{n + 1}} =  - 2{v_n},n \ge 1,n \in \mathbb{N}\\{v_1} = \frac{{ - 1}}{3}\end{array} \right.$

Do đó, $\left( {{v_n}} \right)$ là một cấp số nhân với số hạng đầu ${v_1} = \frac{{ - 1}}{3}$ và công bội $q =  - 2$

Số hạng tổng quát của $\left( {{v_n}} \right)$ là: ${v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = \frac{{ - 1}}{3}{\left( { - 2} \right)^{n - 1}}$

$\Rightarrow \frac{1}{{{u_n} + 1}} - \frac{2}{3} =  - \frac{1}{3}{\left( { - 2} \right)^{n - 1}} \Rightarrow \frac{1}{{{u_n} + 1}} = \frac{2}{3} - \frac{1}{3}{\left( { - 2} \right)^{n - 1}}$$\Rightarrow {u_n} = \frac{1}{{\frac{2}{3} - \frac{1}{3}{{\left( { - 2} \right)}^{n - 1}}}} - 1 = \frac{{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}{{\left( { - 2} \right)}^{n - 1}}}}{{\frac{2}{3} - \frac{1}{3}{{\left( { - 2} \right)}^{n - 1}}}} = \frac{{1 + {{\left( { - 2} \right)}^{n - 1}}}}{{2 - {{\left( { - 2} \right)}^{n - 1}}}}$

Vậy số hạng tổng quát của dãy số đã cho là: ${u_n} = \frac{{1 + {{\left( { - 2} \right)}^{n - 1}}}}{{2 - {{\left( { - 2} \right)}^{n - 1}}}}$