Cho dãy số un biết un = n + 1/n. Tìm m để dãy số un bị chặn — Không quảng cáo

Chứng minh dãy số tăng và bị chặn dưới tại $m = {u_1}$.

Xét ${u_{n + 1}} - {u_n} = \left( {n + 1 + \frac{1}{{n + 1}}} \right) - \left( {n + \frac{1}{n}} \right) = 1 + \frac{1}{{n + 1}} - \frac{1}{n} = \left( {1 - \frac{1}{n}} \right) + \frac{1}{{n + 1}}$.

Ta có: $n \ge 1 \Leftrightarrow \frac{1}{n} < 1 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{n} > 0$; $n \ge 1 \Rightarrow \frac{1}{{n + 1}} > 0$.

Vậy ${u_{n + 1}} - {u_n} > 0$, tức dãy số tăng.

Khi đó, dãy bị chặn dưới bởi ${u_1} = 1 + \frac{1}{1} = 2 = m$.