Cho hai biểu thức \(P = \frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} + 2x}} + \frac{1}{{x + 2}}\), \(Q = \frac{{x + 1}}{x}\) (với \(x \ne 0\); \(x \ne - 2\); \(x \ne - 1\))
a) Tính giá trị của Q khi \(x = - 3\).
b) Rút gọn P.
c) Tìm \(x\) để \(P:Q = \frac{5}{2}\).
d) Tìm \(x\) nguyên để \(P\) có giá trị nguyên.
a) Kiểm tra xem x = -3 có thỏa mãn điều kiện không. Nếu có thì thay x = -3 vào để tính Q.
b) Sử dụng các quy tắc tính với phân thức để rút gọn P.
c) Rút gọn \(P:Q\). Thay \(P:Q = \frac{5}{2}\) để tìm x.
d) Để P nguyên thì tử thức phải chia hết cho mẫu thức.
a) Ta có x = -3 thỏa mãn điều kiện của biểu thức Q nên thay x = -3 vào Q, ta được:
\(Q = \frac{{ - 3 - 1}}{{ - 3}} = \frac{4}{3}\).
Vậy \(Q = \frac{4}{3}\) khi \(x = - 3\).
b) Ta có: \(P = \frac{{{x^2} - 2}}{{{x^2} + 2x}} + \frac{1}{{x + 2}}\)
\(\begin{array}{l}P = \frac{{{x^2} - 2}}{{x\left( {x + 2} \right)}} + \frac{x}{{x\left( {x + 2} \right)}}\\P = \frac{{{x^2} - 2 + x}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\\P = \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{x\left( {x + 2} \right)}}\\P = \frac{{x - 1}}{x}\end{array}\)
Vậy \(P = \frac{{x - 1}}{x}\).
c) Ta có: \(P:Q = \frac{{x - 1}}{x}:\frac{{x + 1}}{x} = \frac{{x - 1}}{x}.\frac{x}{{x + 1}} = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\).
\(\begin{array}{l}\frac{{x - 1}}{{x + 1}} = \frac{5}{2}\\ \Rightarrow 2\left( {x - 1} \right) = 5\left( {x + 1} \right)\\2x - 2 = 5x + 5\\3x = - 7\\x = - \frac{7}{3}(TM)\end{array}\)
Vậy \(x = - \frac{7}{3}\) khi \(P:Q = \frac{5}{2}\).
d) Ta có: \(P = \frac{{x - 1}}{x} = 1 - \frac{1}{x}\). Để P nguyên thì \(\frac{1}{x}\) nguyên \( \Rightarrow 1 \vdots x\) hay \(x \in U\left( 1 \right) = \left\{ { - 1;1} \right\}\).
Mà \(x \ne - 1\) nên chỉ có \(x = 1\) thỏa mãn.
Vậy \(x = 1\) thì P nguyên.