Cho hàm số f x = arrayl1/x - 1 - 3/x^3 - 1,;khi;x > 1\mx + — Không quảng cáo

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về hàm số liên tục: Hàm số $y = f\left( x \right)$ được gọi là liên tục trên khoảng $\left( {a;b} \right)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

Khi $x \in \left( { - \infty ;1} \right)$: Hàm số $f\left( x \right) = mx + 3$ liên tục trên $\left( { - \infty ;1} \right)$.

Khi $x \in \left( {1; + \infty } \right)$: Hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{3}{{{x^3} - 1}}$ liên tục trên $\left( {1; + \infty } \right)$.

Tại $x = 1$:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{3}{{{x^3} - 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + x + 1 - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 2}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{3}{3} = 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {mx + 3} \right) = m + 3$, $f\left( 1 \right) = m + 3$

Hàm số f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$ $\Leftrightarrow$ hàm số f(x) liên tục tại $x = 1$$\Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)$

Tức là: $m + 3 = 1 \Leftrightarrow m =  - 2$