Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x - 1}} - \frac{3}{{{x^3} - 1}}\,\;khi\;x > 1\\mx + 3\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;khi\;x \le 1\;\end{array} \right.\). Tìm m để hàm số liên tục trên \(\mathbb{R}\).
Sử dụng kiến thức về hàm số liên tục: Hàm số \(y = f\left( x \right)\) được gọi là liên tục trên khoảng \(\left( {a;b} \right)\) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.
Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\)
Khi \(x \in \left( { - \infty ;1} \right)\): Hàm số \(f\left( x \right) = mx + 3\) liên tục trên \(\left( { - \infty ;1} \right)\).
Khi \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\): Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{x - 1}} - \frac{3}{{{x^3} - 1}}\) liên tục trên \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Tại \(x = 1\):
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {\frac{1}{{x - 1}} - \frac{3}{{{x^3} - 1}}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + x + 1 - 3}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{{x^2} + x - 2}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)
\( = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 2}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{3}{3} = 1\)
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {mx + 3} \right) = m + 3\), \(f\left( 1 \right) = m + 3\)
Hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) \( \Leftrightarrow \) hàm số f(x) liên tục tại \(x = 1\)\( \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = f\left( 1 \right)\)
Tức là: \(m + 3 = 1 \Leftrightarrow m = - 2\)