Cho hàm số y=2x−1x+1. Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm I(−1;2)tới tiếp tuyến của đồ thị tại M là lớn nhất.
Lập biểu thức tính khoảng cách từ điểm I(−1;2) tới tiếp tuyển của đồ thị
Sử dụng BĐT Cauchy để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Giả sử M(x0;2−3x0+1)∈(C). PTTT của (C) tại M là:
y=3(x0+1)2(x−x0)+2−3x0+1(Δ)
Hay (Δ):3(x0+1)2x−y+[3x0(x0+1)2+2−3x0+1]=0(Δ):3(x0+1)2x−y+2−3(x0+1)2=0d(I,Δ)=|3(x0+1)2x0−(2−3x0+1)+2−3(x0+1)2|√9(x0+1)4+1=6|x0+1|√9+(x0+1)4=6√9(x0+1)2+(x0+1)2
Áp dụng BĐT Cauchy: 9(x0+1)2+(x0+1)2≥2√9=6⇒d≤√6
Dấu “=” xảy ra khi 9(x0+1)2=(x0+1)2⇔x0=−1±√3
Vậy có hai điểm cần tìm là M(−1+√3;2−√3) hoặc M(−1−√3;2+√3)