Cho hàm số \(y = \frac{{\cos x + 2\sin x + 3}}{{2\cos x - \sin x + 4}}\). Chứng minh rằng \(\frac{2}{{11}} \le y \le 2\)
Sử dụng kiến thức: Phương trình \(a\sin x + b\cos x = c\) có nghiệm khi \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\)
Gọi \({y_o}\) là một giá trị của hàm số. Khi đó, phương trình \({y_o} = \frac{{\cos x + 2\sin x + 3}}{{2\cos x - \sin x + 4}}\) có nghiệm.
Ta có: \({y_o} = \frac{{\cos x + 2\sin x + 3}}{{2\cos x - \sin x + 4}} \Leftrightarrow \left( {2{y_o} - 1} \right)\cos x - \left( {{y_o} + 2} \right)\sin x = 3 - 4{y_o}\) (1)
Phương trình (1) có nghiệm \( \Leftrightarrow {\left( {2{y_o} - 1} \right)^2} + {\left( {{y_o} + 2} \right)^2} \ge {\left( {3 - 4{y_o}} \right)^2}\)
\( \Leftrightarrow 11y_o^2 - 24{y_o} + 4 \le 0 \Leftrightarrow \frac{2}{{11}} \le {y_o} \le 2\)
Vậy \(\frac{2}{{11}} \le y \le 2\).