Cho hàm số y = cos x + 2sin x + 3/2cos x - Sin x + 4. Chứng — Không quảng cáo

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức: Phương trình $a\sin x + b\cos x = c$ có nghiệm khi ${a^2} + {b^2} \ge {c^2}$

Gọi ${y_o}$ là một giá trị của hàm số. Khi đó, phương trình ${y_o} = \frac{{\cos x + 2\sin x + 3}}{{2\cos x - \sin x + 4}}$ có nghiệm.

Ta có: ${y_o} = \frac{{\cos x + 2\sin x + 3}}{{2\cos x - \sin x + 4}} \Leftrightarrow \left( {2{y_o} - 1} \right)\cos x - \left( {{y_o} + 2} \right)\sin x = 3 - 4{y_o}$ (1)

Phương trình (1) có nghiệm $\Leftrightarrow {\left( {2{y_o} - 1} \right)^2} + {\left( {{y_o} + 2} \right)^2} \ge {\left( {3 - 4{y_o}} \right)^2}$

$\Leftrightarrow 11y_o^2 - 24{y_o} + 4 \le 0 \Leftrightarrow \frac{2}{{11}} \le {y_o} \le 2$

Vậy $\frac{2}{{11}} \le y \le 2$.