Cho hàm số y = fx = 1/3x^3 - 1/2x^2 + 1 có đồ thị — Không quảng cáo

a) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 là: \(y = 2x + 3\) hoặc \(y = 2x - 3\)

b) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(({d_1})\) : \(y =  - \frac{1}{6}x + 1\) là \(y = 6x - \frac{{25}}{2}\) hoặc \(y = 6x + \frac{{25}}{3}\)

c) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(({d_2})\):\(y = 2020\)là y = 1 hoặc \(y = \frac{5}{6}\)

d) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(({d_3}):4x + y - 5 = 0\)là \(y =  - 4x - 2\)

Bước 1: Gọi M(x ₀ ; f(x ₀ )) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến của (C) thì f'(x ₀ ) = k

Bước 2: Giải phương trình f'(x ₀ ) = k với ẩn là x ₀ .

Bước 3: Phương trình tiếp tuyến của (C) có dạng y = k(x – x ₀ ) + f(x ₀ ).

Ta có\(y' = f'(x) = {x^2} - x\)

1. a) Gọi \(M({x_0},{y_0}) \in (C)\) mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 2

\( \Rightarrow f'({x_0}) = 2 \Leftrightarrow x_0^2 - {x_0} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} =  - 1\end{array} \right.\)

* Với \({x_0} = 2\) ta có \({y_0} = f(0) = \frac{1}{3}{.2^3} - \frac{1}{2}{.2^2} + 1 = \frac{5}{3} \Rightarrow {M_1}(2;\frac{5}{3})\)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm \({M_1}(2;\frac{5}{3})\) là \(y = 2(x - 2) + \frac{5}{3}\,\,hay\,\,y = 2x - \frac{7}{3}\)

* Với \({x_0} =  - 1\)ta có \({y_0} = f( - 1) = \frac{1}{6} \Rightarrow {M_2}( - 1;\frac{1}{6})\)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm \({M_2}( - 1;\frac{1}{6})\) là \(y = 2(x + 1) + \frac{1}{6}\,\,hay\,\,y = 2x + \frac{{13}}{6}\)

1. b) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C)

Do tiếp tuyến vuông góc với \((d):y =  - \frac{1}{6}x + 1\) nên \( - \frac{1}{6}k =  - 1 \Leftrightarrow k = 6\)

Gọi \(M({x_0},{y_0}) \in (C)\)mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 6.

\(f'({x_0}) = 6 \Rightarrow x_0^2 - {x_0} = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 3\\{x_0} =  - 2\end{array} \right.\)

* Với \({x_0} = 3\) ta có \({y_0} = f(3) = \frac{{11}}{2} \Rightarrow {M_1}(3;\frac{{11}}{2}) \in (C)\)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại \({M_1}(3;\frac{{11}}{2}\)) là \(y = 6(x - 3) + \frac{{11}}{2}\,\,hay\,\,y = 6x - \frac{{25}}{2}\)

* Với \({x_0} =  - 2\) ta có \({y_0} = f( - 2) =  - \frac{{11}}{3} \Rightarrow {M_2}( - 2; - \frac{{11}}{3}) \in (C)\)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại \({M_2}( - 2; - \frac{{11}}{3})\) là \(y = 6(x + 2) - \frac{{11}}{3}\,\,hay\,\,y = 6x + \frac{{25}}{3}\)

1. c) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C).

Do tiếp tuyến song song với (d') : y = 2020 với hệ số góc là 0

⇒ k = 0

Gọi \(M({x_0},{y_0}) \in (C)\)mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 0

\( \Rightarrow f'({x_0}) = 0 \Rightarrow x_0^2 - {x_0} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 1\end{array} \right.\)

* Với \({x_0} = 0\)ta có \({y_0} = f(0) = 1 \Rightarrow {M_1}(0;1) \in (C)\)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại \({M_1}(0;1)\)là y = 1.

* Với \({x_0} = 1\)ta có \({y_0} = f(1) = \frac{5}{6} \Rightarrow {M_2}(1;\frac{5}{6}) \in (C)\)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại \({M_2}(1;\frac{5}{6})\) là \(y = \frac{5}{6}\)

d)\(({d_3}):4x + y - 5 = 0\) hay \(({d_3}):y =  - 4x + 5\)

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C).

Do tiếp tuyến song song với \(({d_3}):y =  - 4x + 5\)với hệ số góc là – 4

Nên k = -4

\( \Rightarrow f'({x_0}) =  - 4 \Rightarrow x_0^2 - {x_0} =  - 4 \Rightarrow \)PT vô nghiệm

Suy ra không tổn tại tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài