Cho hàm số: Y = log [ m - 2x^2 + 2m + 1x + 2m ]. A Với m = — Không quảng cáo

Phương pháp giải

Hàm số $y = \log u\left( x \right)$ xác định khi $u\left( x \right) > 0$.

a) Với $m = 3$ ta có: $y = \log \left( {{x^2} + 8x + 6} \right)$.

Hàm số $y = \log \left( {{x^2} + 8x + 6} \right)$ xác định khi ${x^2} + 8x + 6 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x >  - 4 + \sqrt {10} \\x <  - 4 - \sqrt {10} \end{array} \right.$

Vậy với $m = 3$ thì tập xác định của hàm số là: $D = \left( { - \infty ; - 4 - \sqrt {10} } \right) \cup \left( { - 4 + \sqrt {10} ; + \infty } \right)$.

b) Hàm số $y = \log \left[ {\left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 2m} \right]$ xác định với mọi giá trị thực của x khi và chỉ khi $f\left( x \right) = \left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 2m > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

Trường hợp 1: Với $m = 2$ ta có: $f\left( x \right) = 6x + 4 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{{ - 2}}{3}$.

Do đó, f(x) không xác định với mọi giá trị thực của x. Do đó, $m = 2$ không thỏa mãn.

Trường hợp 2: Với $m \ne 2$.

Hàm số $f\left( x \right) = \left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 2m > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 > 0\\\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - \left( {m - 2} \right)2m < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\\ - {m^2} + 6m + 1 < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 2\\\left[ \begin{array}{l}m < 3 - \sqrt {10} \\m > 3 + \sqrt {10} \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 3 + \sqrt {10}$

Vậy với $m \in \left( {3 + \sqrt {10} ; + \infty } \right)$ thì hàm số $y = \log \left[ {\left( {m - 2} \right){x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + 2m} \right]$ có tập xác định với mọi giá trị thực của x.