Cho hình bình hành ABCD.Trên đường chéo AC lấy điểm E sao cho AC = 3.AE. Qua E vẽ đường thẳng song song với CD cắt AD và BC theo thứ tự ở M và N. Cho các khẳng định sau:
(I)ΔAME∽ , tỉ số đồng dạng {k_1} = \frac{1}{3}
(II)\Delta CBA \backsim \Delta A{\rm{D}}C , tỉ số đồng dạng {k_2} = 1
(III)\Delta CNE \backsim \Delta A{\rm{D}}C , tỉ số đồng dạng {k_3} = \frac{2}{3}
Chọn câu đúng:
-
A.
( I ) đúng, ( II ) và ( III ) sai.
-
B.
( I ) và ( II ) đúng, ( III ) sai.
-
C.
( I ) , ( II ), ( III ) đều đúng.
-
D.
( I ), ( II ), ( III ) đều sai.
Xét \Delta A{\rm{D}}C có ME//C{\rm{D}} (gt) \Rightarrow \Delta AM{\rm{E}} \backsim \Delta A{\rm{D}}C(1) theo tỉ số đồng dạng {k_1} = \frac{{A{\rm{E}}}}{{AC}} = \frac{1}{3}
Vì ABCD là hình bình hành nên
+ \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} = \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over D}
+ AB//C{\rm{D}} \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {AC{\rm{D}}} (so le trong)
+ AD//BC \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat {CA{\rm{D}}} (so le trong)
+ AD = BC ; AB = CD
Xét \Delta CBA và \Delta A{\rm{D}}C có :
+ \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over B} = \mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\frown$}} \over D} ;\widehat {BAC} = \widehat {AC{\rm{D}}};\widehat {ACB} = \widehat {CA{\rm{D}}}(cmt)
+ \frac{{AB}}{{C{\rm{D}}}} = \frac{{BC}}{{A{\rm{D}}}} = \frac{{AC}}{{AC}}( = 1)
\Rightarrow \Delta CBA \backsim \Delta A{\rm{D}}C theo tỉ lệ đồng dạng {k_2} = 1
Xét \Delta ABC có :
EN//CD (gt) mà AB//CD (cmt)
\Rightarrow EN//AB \Rightarrow \Delta CNE \backsim \Delta CBA
Mà \Delta CBA \backsim \Delta A{\rm{D}}C(cmt)
\Rightarrow \Delta CNE \backsim \Delta A{\rm{D}}C theo tỉ lệ đồng dạng {k_3} = \frac{{CE}}{{AC}} = \frac{2}{3} (Vì AC = 3{\rm{AE}} \Rightarrow CE = \frac{2}{3}AC)
Vậy khẳng định (I), (II), (III) đều đúng.
Đáp án : C