Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng \(a\). Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD bằng \(\frac{{a\sqrt {30} }}{{10}}\). Tính khoảng cách từ điểm \(B\) đến mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\).
-
A.
\(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\).
-
B.
\(a\sqrt 3 \).
-
C.
\(\frac{{a\sqrt 6 }}{2}\)
-
D.
\(d\left( {B,CSD} \right) = 2d\left( {O,CSD} \right)\)
Đưa về khoảng cách từ O đến (CSD)
Kẻ \(OH \bot SD\)
Ta có \(AC \bot BD\) (tính chất hình vuông) và \(AC \bot SO \Rightarrow AC \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow AC \bot OH\)
\( \Rightarrow OH\) là đường vuông góc chung của AC và SD
\( \Rightarrow OH = \frac{{a\sqrt {30} }}{{10}} \Rightarrow \frac{1}{{S{O^2}}} = \frac{1}{{O{H^2}}} - \frac{1}{{O{D^2}}} = \frac{4}{3} \Rightarrow SO = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\)
Gọi M là trung điểm của CD, kẻ \(ON \bot SM\) \( \Rightarrow d\left( {O,CSD} \right) = ON\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{O{N^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{M^2}}} \Rightarrow ON = \frac{{\sqrt 3 }}{4}a\)
\( \Rightarrow d\left( {B,CSD} \right) = 2d\left( {O,CSD} \right) = 2.\frac{{\sqrt 3 }}{4}a = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a\)
Đáp án D.
Đáp án : D