Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại \(B,\;AB = \sqrt 2 a,\;BC = a\). Các cạnh bên bằng nhau và bằng \(a\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB.
-
A.
\(\frac{{a\sqrt 2 }}{4}\).
-
B.
\(\frac{a}{2}\).
-
C.
\(a\sqrt 2 \).
-
D.
\(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).
Đưa về khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng
Do \(\Delta ABC\) vuông tại B nên H là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\)
Do \(SA = SB = SC \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\)
Trong \(\left( {ABC} \right)\) dựng hình bình hành ABCD\( \Rightarrow d\left( {AB,CD} \right) = d\left( {AB,SCD} \right) = d\left( {A,SCD} \right) = 2d\left( {H,SCD} \right)\)
Kẻ \(HM \bot CD,HN \bot SM \Rightarrow d\left( {H,SCD} \right) = HN\)\(AC = a\sqrt 3 \)
\( \Rightarrow HA = HC = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow SH = \frac{a}{2}\)
\(\begin{array}{*{20}{l}}{HM = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}}\\{ \Rightarrow \frac{1}{{H{N^2}}} = \frac{1}{{H{M^2}}} + \frac{1}{{S{H^2}}} \Rightarrow HN = \frac{{\sqrt 2 }}{4}a \Rightarrow d\left( {AB,CD} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}a}\end{array}\)
Đáp án D.
Đáp án : D