Cho hình chóp S. ABC có SA ⊥ ABC, SA = h. Gọi M, N, P tương — Không quảng cáo

a) $d((MNP),(ABC)) = h$

b) $d(NP,(ABC)) = \frac{h}{2}$

c) $d(A,(SBC)) = \frac{{ah}}{{\sqrt {{a^2} + {h^2}} }}$

d) $(MNP)//(ABC)$

Sử dụng phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng

a) Xét tam giác SAB có M là trung điểm của SA, N là trung điểm của SB nên MN là đường trung bình của tam giác SAB. Suy ra $MN//AB$,do đó $MN//(ABC)$

Xét tam giác SBC có N là trung điểm của SB, P là trung điểm của SC nên PN là đường trung bình của tam giác SBC. Suy ra $PN//BC$,do đó $PN//(ABC)$

Khi đó, $d((MNP),(ABC)) = d(M,(ABC))$

Vì $SA \bot (ABC)$ nên $MA \bot (ABC)$. Do đó $d(M,(ABC)) = MA$

Vì M là trung điểm SA nên $AM = \frac{{SA}}{2} = \frac{h}{2}$

Do đó $d((MNP),(ABC)) = \frac{h}{2}$

b) Vì $PN//(ABC)$ nên $d(NP,(ABC)) = d(N,(ABC))$

Vì $MN//(ABC)$ nên $d(N,(ABC)) = d(M,(ABC)) = MA = \frac{h}{2}$

Vậy $d(N,(ABC)) = \frac{h}{2}$

c) Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại B nên $BC \bot AB$

Vì $SA \bot (ABC)$ nên $SA \bot BC$mà $BC \bot AB$ nên $BC \bot (SAB)$, suy ra $(SBC) \bot (SAB)$

Kẻ $AH \bot SB$ tại H

Vì $\left\{ \begin{array}{l}(SBC) \bot (SAB)\\(SBC) \cap (SAB) = SB\\AH \subset (SAB)\\AH \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot (SBC)$

Khi đó $d(A,(SBC)) = AH$

Vì $SA \bot (SBC)$ nên $SA \bot AB$

Xét tam giác SAB vuông tại A, AH là đường cao, có:

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{{h^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{{{a^2} + {h^2}}}{{{a^2}{h^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{ah}}{{\sqrt {{a^2} + {h^2}} }}$

Vậy $d(A,(SBC)) = \frac{{ah}}{{\sqrt {{a^2} + {h^2}} }}$

d)$MN//(ABC)$ mà $MN \subset (MNP) \Rightarrow (MNP)//(ABC)$