Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A — Không quảng cáo

Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, SA(ABCD), AD=2a,AB=BC=a Chứng minh


Đề bài

Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, SA(ABCD), AD=2a,AB=BC=a. Chứng minh rằng:

a) Tam giác SBC là tam giác vuông.

b) CDSC.

Phương pháp giải

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì d(P).

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

a) Vì SA(ABCD),BC(ABCD)SABC.

Vì ABCD là hình thang vuông tại A và B nên ABBC.

Ta có: SABC, ABBC, SA và AB cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB) nên BC(SAB). Lại có, SB(SBC)BCSB. Suy ra, tam giác SBC vuông tại B.

b) Gọi I là trung điểm của AD. Do đó, AI=ID=12AD=a

Tứ giác ABCI có: AI//BC (do tứ giác ABCD là hình thang vuông tại A, B), AI=BC(=a) nên tứ giác ABCI là hình bình hành. Lại có: BC=AB nên tứ giác ABCI là hình thoi. Mà ^BAI=900 nên ABCI là hình vuông. Do đó, ^AIC=900^CID=900

Tam giác CID có: ^CID=900,CI=ID(=a) nên tam giác CID vuông cân tại I.

Suy ra: ^DCI=450.

Lại có: CA là phân giác góc ICB (do ABCI là hình vuông) nên ^ACI=12^ICB=12.900=450

Suy ra: ^ACD=^ACI+^ICD=900 hay ACCD

SA(ABCD),DC(ABCD)SADC

Ta có: ACCD, SADC, SA và AC cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAC) nên DC(SAC). Mà SC(SAC)CDSC