Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, SA⊥(ABCD), AD=2a,AB=BC=a. Chứng minh rằng:
a) Tam giác SBC là tam giác vuông.
b) CD⊥SC.
+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì d⊥(P).
+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
a) Vì SA⊥(ABCD),BC⊂(ABCD)⇒SA⊥BC.
Vì ABCD là hình thang vuông tại A và B nên AB⊥BC.
Ta có: SA⊥BC, AB⊥BC, SA và AB cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB) nên BC⊥(SAB). Lại có, SB⊂(SBC)⇒BC⊥SB. Suy ra, tam giác SBC vuông tại B.
b) Gọi I là trung điểm của AD. Do đó, AI=ID=12AD=a
Tứ giác ABCI có: AI//BC (do tứ giác ABCD là hình thang vuông tại A, B), AI=BC(=a) nên tứ giác ABCI là hình bình hành. Lại có: BC=AB nên tứ giác ABCI là hình thoi. Mà ^BAI=900 nên ABCI là hình vuông. Do đó, ^AIC=900⇒^CID=900
Tam giác CID có: ^CID=900,CI=ID(=a) nên tam giác CID vuông cân tại I.
Suy ra: ^DCI=450.
Lại có: CA là phân giác góc ICB (do ABCI là hình vuông) nên ^ACI=12^ICB=12.900=450
Suy ra: ^ACD=^ACI+^ICD=900 hay AC⊥CD
Vì SA⊥(ABCD),DC⊂(ABCD)⇒SA⊥DC
Ta có: AC⊥CD, SA⊥DC, SA và AC cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAC) nên DC⊥(SAC). Mà SC⊂(SAC)⇒CD⊥SC