Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA ⊥ — Không quảng cáo

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Kẻ \(BH \bot SC \Rightarrow DH \bot SC\)(hai đường cao tương ứng của hai tam giác bằng nhau)

\( \Rightarrow \left( {(SBC),(SCD)} \right) = \left( {BH,DH} \right) = {60^0}\)

Có hai trường hợp xảy ra:

TH1:

\(\begin{array}{l}\widehat {BHD} = {60^0} \Rightarrow \widehat {BHO} = {30^0}\\OB = \frac{a}{{\sqrt 2 }},\tan {30^0} = \frac{{OB}}{{OH}} \Rightarrow OH = \frac{{\frac{a}{{\sqrt 2 }}}}{{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}} = a\sqrt {\frac{3}{2}} \end{array}\)

Xét hai tam giác đồng dạng SAC và OHC ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{OH}}{{OC}} = \frac{{SA}}{{SC}} \Leftrightarrow \frac{{a\sqrt {\frac{3}{2}} }}{{\frac{a}{{\sqrt 2 }}}} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }} \Leftrightarrow \sqrt 3  = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }} \Leftrightarrow 3({x^2} + 2{a^2}) = {x^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 6{a^2} = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow x = a\sqrt 3 \)(không có đáp án nào thỏa mãn)

TH2:

\(\begin{array}{l}\widehat {BHD} = {120^0} \Rightarrow \widehat {BHO} = {60^0}\\OB = \frac{a}{{\sqrt 2 }},\tan {60^0} = \frac{{OB}}{{OH}} \Rightarrow OH = \frac{{\frac{a}{{\sqrt 2 }}}}{{\sqrt 3 }} = \frac{a}{{\sqrt 6 }}\end{array}\)

Xét hai tam giác đồng dạng SAC và OHC ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{OH}}{{OC}} = \frac{{SA}}{{SC}} \Leftrightarrow \frac{{\frac{a}{{\sqrt 6 }}}}{{\frac{a}{{\sqrt 2 }}}} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }} \Leftrightarrow {x^2} + 2{a^2} = 3{x^2}\\ \Leftrightarrow x = a\end{array}\)

Đáp án D.