Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy ABCD và C. Hỏi khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) bằng:

A.
$\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$
B.
$\frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
C.
$\frac{{a\sqrt 3 }}{4}$
D.
$\frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Phương pháp giải

Hạ $AH \bot SB \Rightarrow d(A,(SBC)) = AH$

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SA\\AB,SA \subset (SAB)\\AB \cap SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot AH$

Mặt khác,

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SB\\AH \bot BC\\SB,BC \subset (SBC)\\SB \cap BC\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot (SBC)\\ \Rightarrow d(AH,(SBC)) = AH\end{array}$

Xét tam giác SAB vuông tại A ta có :

$AH = \frac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 .a}}{{\sqrt {{{(a\sqrt 3 )}^2} + {a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow d(AH,(SBC)) = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Đáp án B.

Đáp án : B