Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông và \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC và SD. Chứng minh rằng:
a) \(SC \bot \left( {AHK} \right)\).
b) \(HK \bot \left( {SAC} \right)\) và \(HK \bot AI\).
+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).
+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
a) Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right),DC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot DC\)
Vì ABCD là hình vuông nên \(DC \bot AD\).
Mà SA và AD cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAD). Do đó, \(DC \bot \left( {SAD} \right)\)
Lại có: \(AK \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow DC \bot AK\). Mặt khác, \(AK \bot SD \Rightarrow AK \bot \left( {SDC} \right) \Rightarrow AK \bot SC\)
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right),BC \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot BC\)
Vì ABCD là hình vuông nên \(BC \bot AB\).
Mà SA và AB cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB). Do đó, \(BC \bot \left( {SAB} \right)\)
Lại có: \(AH \subset \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AH\). Mặt khác, \(AH \bot SB \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow AH \bot SC\)
Ta có: \(AK \bot SC\), \(AH \bot SC\) và AK và AH cắt nhau tại A nằm trong mặt phẳng (AHK) nên \(SC \bot \left( {AHK} \right)\).
b) Ta có: \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\widehat {SAB} = {90^0}\\\widehat {SAD} = {90^0}\end{array} \right.\)
Tam giác SAB và tam giác SAD có: SA là cạnh chung, \(\widehat {SAB} = \widehat {SAD} = {90^0}\), \(AB = AD\).
Do đó, \(\Delta SAB = \Delta SAD\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow SB = SD\), \(SH = SK\).
Suy ra: \(\frac{{SH}}{{SB}} = \frac{{SK}}{{SD}}\). Do đó, HK//BD (1)
Vì ABCD là hình vuông nên \(AC \bot BD\).
Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right),DB \subset \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot DB\)
Mà SA và AC cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAC) nên \(DB \bot \left( {SAC} \right)\) (2)
Từ (1) và (2) ta có: \(HK \bot \left( {SAC} \right)\). Mà \(AI \subset \left( {SAC} \right)\), suy ra \(HK \bot AI\).