Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA⊥(ABCD). Gọi H, I, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC và SD. Chứng minh rằng:
a) SC⊥(AHK).
b) HK⊥(SAC) và HK⊥AI.
+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì d⊥(P).
+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.
a) Vì SA⊥(ABCD),DC⊂(ABCD)⇒SA⊥DC
Vì ABCD là hình vuông nên DC⊥AD.
Mà SA và AD cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAD). Do đó, DC⊥(SAD)
Lại có: AK⊂(SAD)⇒DC⊥AK. Mặt khác, AK⊥SD⇒AK⊥(SDC)⇒AK⊥SC
Vì SA⊥(ABCD),BC⊂(ABCD)⇒SA⊥BC
Vì ABCD là hình vuông nên BC⊥AB.
Mà SA và AB cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB). Do đó, BC⊥(SAB)
Lại có: AH⊂(SAB)⇒BC⊥AH. Mặt khác, AH⊥SB⇒AH⊥(SBC)⇒AH⊥SC
Ta có: AK⊥SC, AH⊥SC và AK và AH cắt nhau tại A nằm trong mặt phẳng (AHK) nên SC⊥(AHK).
b) Ta có: SA⊥(ABCD)⇒{SA⊥ABSA⊥AD⇒{^SAB=900^SAD=900
Tam giác SAB và tam giác SAD có: SA là cạnh chung, ^SAB=^SAD=900, AB=AD.
Do đó, ΔSAB=ΔSAD(c.g.c)⇒SB=SD, SH=SK.
Suy ra: SHSB=SKSD. Do đó, HK//BD (1)
Vì ABCD là hình vuông nên AC⊥BD.
Vì SA⊥(ABCD),DB⊂(ABCD)⇒SA⊥DB
Mà SA và AC cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAC) nên DB⊥(SAC) (2)
Từ (1) và (2) ta có: HK⊥(SAC). Mà AI⊂(SAC), suy ra HK⊥AI.