Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành, cạnh AB = 6 cm, AC và BD cắt nhau tại O. Gọi I là trung điểm của SO. Mặt phẳng (ICD) cắt SA, SB lần lượt tại M, N. Độ dài MN là?
Đáp án:
Đáp án:
Tìm giao điểm của IC với SA, ID với SB. Tìm MN theo định lý Menelaus.
Ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{M \in (ICD)}\\{M \in SA \subset (SAC)}\end{array}} \right.\) suy ra \(M \in (ICD) \cap (SAC)\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{I \in (ICD)}\\{I \in SO \subset (SAC)}\end{array}} \right.\) suy ra \(I \in (ICD) \cap (SAC)\)
\(C \in (ICD) \cap (SAC)\)
Vậy, C, I, M thẳng hàng, tức M là giao điểm của IC và SA.
Chứng minh tương tự, ta có N, I, D thẳng hàng, tức N là giao điểm của ID và SB.
Ta có:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AB = (SAB) \cap (ABCD)}\\{CD = (ICD) \cap (ABCD)}\\{MN = (SAB) \cap (ICD)}\\{AB//CD}\end{array}} \right.\). Theo định lý về giao tuyến của ba mặt phẳng, ta được: AB//CD//MN.
Áp dụng định lý Menelaus cho \(\Delta SAO\) với cát tuyến CIM, ta có:
\(\frac{{SM}}{{MA}}.\frac{{AC}}{{OC}}.\frac{{OI}}{{SI}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{SM}}{{MA}}.2.1 = 1 \Leftrightarrow \frac{{SM}}{{MA}} = \frac{1}{2}\).
Xét \(\Delta SAB\) có MN//AB. Theo định lý Thales, ta có: \(\frac{{MN}}{{AB}} = \frac{{SM}}{{SA}} = \frac{1}{3} \Leftrightarrow MN = \frac{1}{3}AB = \frac{1}{3}.6 = 2\) (cm).