Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a,

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I, H lần lượt là trung điểm cạnh AB, CD. Tính thể tích V của khối chóp S.IBCH.

A.
$V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$ .
B.
$V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}$ .
C.
$V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}$ .
D.
$V = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{8}$ .

Phương pháp giải

Sử dụng kiến thức về hình chóp đều, định lý Pythagore và diện tích tam giác đều để tính.

Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a nên diện tích ABCD bằng: ${S_{ABCD}} = {a^2}$

Xét tam giác vuông ABC có: $AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \Rightarrow AO = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Xét tam giác vuông SOA có: $SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {{a^2} - {{(\frac{{a\sqrt 2 }}{2})}^2}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

${V_{SABCD}} = \frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SO = \frac{1}{3}.{a^2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{1}{3}.{a^2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}$

$\frac{{{V_{SIBCH}}}}{{{V_{SABCD}}}} = \frac{{\frac{1}{3}.{S_{IBCH}}.h}}{{\frac{1}{3}.{S_{ABCD}}.h}} = \frac{{{S_{IBCH}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \frac{{IB.BC}}{{AB.BC}} = \frac{{BI}}{{AB}} = \frac{1}{2} = > {V_{SIBCH}} = \frac{1}{2}{V_{SABCD}} = \frac{1}{2}.\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6} = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}$

Đáp án : A