Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2AD. Vẽ BH vuông góc với AC — Không quảng cáo

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác MNCP có hai cạnh đối song song và bằng nhau.

b) Chứng minh N là trực tâm của tam giác CMB nên NC$\bot$MB$\Rightarrow$ MP$\bot$MB (MP // CN).

c) Chứng minh MI = PI, sử dụng bất đẳng thức tam giác để chứng minh PI – IJ < JP hay MI – IJ < JP.

a) Xét tam giác AHB có:

M là trung điểm của AH

N là trung điểm của BH

=> MN là đường trung bình của tam giác AHB => MN // AB và MN = $\frac{1}{2}$AB.

Vì P là trung điểm của CD nên CP = PD = $\frac{1}{2}$CD.

Mà AB // CD; AB = CD (ABCD là hình chữ nhật) => CP = $\frac{1}{2}$AB.

=> MN // CP (cùng song song với AB) và MN = CP ($\frac{1}{2}$AB).

Do đó tứ giác MNCP là hình bình hành (đpcm)

b) Do MN // AB (cmt) mà AB $\bot$ BC (ABCD là hình chữ nhật) nên MN $\bot$ BC.

Ta có BH $\bot$ MC (gt)

Mà MN $\cap$ BH tại N.

=> N là trực tâm của tam giác CMB suy ra CN $\bot$ BM.

Mà CN // PM (MNCP là hình bình hành)

=> PM $\bot$ BM (đpcm)

c) Xét tam giác PMB vuông tại M có I là trung điểm của BP nên MI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác PMB => MI = $\frac{1}{2}$BP = PI.

Xét tam giác PIJ, ta có: PI – IJ < JP hay MI – IJ < JP (đpcm).