Cho hình chữ nhật ABCD có \(AB = \frac{3}{4}BC.\) Hình chữ nhật A’B’C’D’ là hình đồng dạng của hình chữ nhật ABCD theo tỉ số đồng dạng 2. Biết rằng \(A'C' = 10cm.\) Khi đó, diện tích hình chữ nhật A’B’C’D’ bằng:
-
A.
\(24c{m^2}\)
-
B.
\(48c{m^2}\)
-
C.
\(36c{m^2}\)
-
D.
\(72c{m^2}\)
+ Hai hình H, H’ được gọi là đồng dạng nếu có hình H 1 đồng dạng phối cảnh với hình H và bằng hình H’
+ Hình H đồng dạng với hình H’ nếu hình H’ bằng H hoặc bằng một hình phóng to hoặc thu nhỏ của H
Vì hình chữ nhật A’B’C’D’ là hình đồng dạng của hình chữ nhật ABCD có tỉ số đồng dạng 2 nên \(\frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = 2\)
Mà \(AB = \frac{3}{4}BC \Rightarrow A'B' = \frac{3}{4}B'C'.\)
Vì A’B’C’D’ là hình chữ nhật nên \(\widehat {A'B'C'} = {90^0}\)
Do đó, tam giác A’B’C’ vuông tại B’. Áp dụng định lý Pytago vào tam giác A’B’C’ vuông tại B’ ta có: \(A'C{'^2} = A'B{'^2} + B'C{'^2}\) (1)
Thay \(A'B' = \frac{3}{4}B'C'\) vào (1) ta có:
\({\left( {\frac{3}{4}B'C'} \right)^2} + B'C{'^2} = {10^2}\)
\(\frac{{25}}{{16}}B'C{'^2} = 100\)
\(B'C{'^2} = 64\) nên \(B'C' = 8cm\)
Do đó, \(A'B' = 8.\frac{3}{4} = 6\left( {cm} \right)\)
Vậy diện tích hình chữ nhật A’B’C’D’ là: \(A'B'.B'C' = 6.8 = 48\left( {c{m^2}} \right)\)
Đáp án : B