Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 5cm, BC = 12cm. Vẽ BH vuông góc với AC tại H. Tia BH cắt đường thẳng DC tại K và cắt AD tại N.
a) Độ dài AC là 13cm.
b) \(\sin ABH = \frac{5}{{12}}\).
c) \(AN.CK = AB.CH\).
d) \(\cot BAC + \cot BCA = \frac{{AB}}{{BH}}\)
a) Độ dài AC là 13cm.
b) \(\sin ABH = \frac{5}{{12}}\).
c) \(AN.CK = AB.CH\).
d) \(\cot BAC + \cot BCA = \frac{{AB}}{{BH}}\)
a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B để tính AC.
b) Chứng minh suy ra \(\widehat {ABH} = \widehat {ACB}\) nên \(\sin ABH = \sin ACB\).
c) Sử dụng tỉ số lượng giác của góc ABN và góc CKH.
d) Biểu diễn \(\cot BAC\) và \(\cot BCA\) theo các cạnh.
a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABC, ta có:
\(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{5^2} + {{12}^2}} = 13\left( {cm} \right)\)
Vậy khẳng định a) đúng.
b) Xét tam giác AHB và tam giác ABC, ta có:
\(\widehat H = \widehat N\left( { = 90^\circ } \right)\)
\(\widehat A\) chung
Suy ra (g.g)
Do đó \(\widehat {ABH} = \widehat {ACB}\) (hai góc tương ứng)
Vì vậy \(\sin ABH = \sin ACB\).
Mà \(\sin ACB = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{{13}}\) nên \(\sin ABH = \frac{5}{{13}}\).
Vậy khẳng định b) sai.
c) Áp dụng tỉ số lượng giác vào tam giác vuông ABN, ta có: \(\tan ABN = \frac{{AN}}{{AB}}\)
Áp dụng tỉ số lượng giác vào tam giác vuông CHK, ta có: \(\tan HKC = \frac{{CH}}{{HK}}\)
Mà \(\widehat {ABN} = \widehat {HKC}\) (hai góc so le trong) nên \(\tan ABN = \tan HKC\). Do đó \(\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{CH}}{{HK}}\) nên \(AN.HK = AB.CH\)
Vì \(HK < CK\) (\(CK\) là cạnh huyền của tam giác vuông CHK) nên \(AN.CK > AN.HK = AB.CH\).
Vậy khẳng định c) sai.
d) \(\cot BAC + \cot BCA = \frac{{AB}}{{BH}}\)
Áp dụng tỉ số lượng giác, ta có:
\(\cot BAC + \cot BCA = \frac{{AH}}{{BH}} + \frac{{HC}}{{BH}} \\= \frac{{AH + HC}}{{BH}} = \frac{{AC}}{{BH}} > \frac{{AB}}{{BH}}.\)
Vậy khẳng định d) sai.
Đáp án a) Đ, b) S, c) S, d) S.