Cho hình lăng trụ đứng ABC. A’B’C’ có đáy ABC vuông tại A,

Đề bài

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vuông tại A, $AB = a\sqrt 3$ , AC = AA’ = a. Giá trị sin của góc giữa đường thẳng AC’ và mặt phẳng (BCC’B’) bằng

A.
$\frac{{\sqrt {10} }}{4}$ .
B.
$\frac{{\sqrt 6 }}{3}$ .
C.
$\frac{{\sqrt 3 }}{3}$ .
D.
$\frac{{\sqrt 6 }}{4}$ .

Phương pháp giải

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu vuông góc của đường thẳng trên mặt phẳng.

Xét $\Delta ABC$ vuông tại $A:\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} \Leftrightarrow AH = \frac{{\sqrt 3 }}{2}a$ .

Xét $\Delta AA'C'$ vuông tại C’: $AC' = {\rm{ }}\sqrt {AA{'^2} + AC{'^2}} {\rm{ \;}} = a\sqrt 2$ .

Xét $\Delta AHC'$ vuông tại C’: $\sin \widehat {AC'H} = \frac{{AH}}{{A{C^\prime }}} = \frac{{\sqrt 6 }}{4}$ .

Đáp án D.

Đáp án : D