Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là — Không quảng cáo

Sử dụng phương pháp tọa độ hóa.

Gọi độ dài cạnh hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ là x.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho \(O \equiv A,B \in Ox,D \in Oy,A' \in Oz\).

Khi đó, tọa độ các đỉnh là: \(A(0;0;0),B(a;0;0),D(0;x;0),A'(0;0;x),B'(x;0;x),C(x,x,x)\).

M là trung điểm của AD suy ra \(M\left( {0;\frac{x}{2};0} \right)\).

N là trung điểm của BB’ suy ra \(N\left( {x;0;\frac{x}{2}} \right)\).

Do đó, \(\overrightarrow {MN}  = \left( {x; - \frac{x}{2};\frac{x}{2}} \right)\) và \(\overrightarrow {AC'}  = \left( {x;x;x} \right)\).

Ta có: \(\cos \left( {MN,AC'} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {AC'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AC'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC'} } \right|}} = \frac{{{x^2}}}{{x\sqrt 3 .x.\frac{{\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\).

\( \Rightarrow a = 2,b = 3 \Rightarrow a + b = 2 + 3 = 5\).