Cho hình lập phương ABCD. A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là — Không quảng cáo

Sử dụng phương pháp tọa độ hóa.

Gọi độ dài cạnh hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ là x.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho $O \equiv A,B \in Ox,D \in Oy,A' \in Oz$.

Khi đó, tọa độ các đỉnh là: $A(0;0;0),B(a;0;0),D(0;x;0),A'(0;0;x),B'(x;0;x),C(x,x,x)$.

M là trung điểm của AD suy ra $M\left( {0;\frac{x}{2};0} \right)$.

N là trung điểm của BB’ suy ra $N\left( {x;0;\frac{x}{2}} \right)$.

Do đó, $\overrightarrow {MN}  = \left( {x; - \frac{x}{2};\frac{x}{2}} \right)$ và $\overrightarrow {AC'}  = \left( {x;x;x} \right)$.

Ta có: $\cos \left( {MN,AC'} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {AC'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AC'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC'} } \right|}} = \frac{{{x^2}}}{{x\sqrt 3 .x.\frac{{\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{3}$.

$\Rightarrow a = 2,b = 3 \Rightarrow a + b = 2 + 3 = 5$.