Cho hình thang \(ABCD\,\left( {AB // CD} \right)\) . Một đường thẳng song song với \(AB\) cắt các cạnh bên \(AD,\,BC\) theo thứ tự ở \(E,\,F\) . Đẳng thức nào sau đây đúng?
-
A.
\(\frac{{ED}}{{AD}} + \frac{{BF}}{{BC}} = 1\)
-
B.
\(\frac{{AE}}{{AD}} + \frac{{BF}}{{BC}} = 1\)
-
C.
\(\frac{{AE}}{{ED}} + \frac{{BF}}{{FC}} = 1\)
-
D.
\(\frac{{AE}}{{ED}} + \frac{{FC}}{{BF}} = 1\)
Sử dụng định lí Thalès: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.
\(\left. \begin{array}{l}AB // CD\\EF // CD\end{array} \right\} \Rightarrow AB // EF\)
Gọi \(G\) là giao điểm của \(EF\) và \(AC\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}EG // CD\\GF // AB\end{array} \right.\)
Xét tam giác \(ACD\) có \(EG // CD\) nên theo định lí Thalès ta có:
\(\frac{{DE}}{{AD}} = \frac{{CG}}{{AC}}\) (1)
Xét tam giác \(ABC\) có \(FG // AB\) nên theo định lí Thalès ta có:
\(\frac{{CG}}{{AC}} = \frac{{CF}}{{BC}}\) (2)
Từ (1), (2) \( \Rightarrow \frac{{DE}}{{AD}} = \frac{{CF}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{DE}}{{AD}} + \frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{CF}}{{BC}} + \frac{{BF}}{{BC}} = \frac{{CF + BF}}{{BC}} = \frac{{BC}}{{BC}} = 1\)
Đáp án : A