Cho hình thang cân ABCD (AB // CD, AB < CD). Đường thẳng AD cắt đường thẳng BC tại O.
a) Chứng minh tam giác OAB cân.
b) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng ba điểm O, P, Q thẳng hàng.
c) Qua điểm M bất kì thuộc cạnh AC, vẽ đường thẳng song song với CD. Đường thẳng đó cắt BD tại N. Chứng minh rằng tứ giác MNAB và tứ giác MNDC là các hình thang cân.
a) Chứng minh tam giác OAB có \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA}\) nên là tam giác cân.
b) Chứng minh OP và OQ cùng vuông góc với CD, dựa vào tiên đề Euclid suy ra O, P, Q thẳng hàng.
c) Chứng minh MNAB có hai cạnh đối song song nên là hình thang.
Mà hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.
Chứng minh MNDC có hai cạnh đối song song nên là hình thang.
Mà hình thang có hai góc ở đáy bằng nhau nên là hình thang cân.
a) Vì ABCD là hình thang cân nên \(\widehat C = \widehat D\) (hai góc kề một đáy)
Suy ra \(\Delta OCD\) cân tại O.
Mà AB // CD (gt) nên \(\widehat {OAB} = \widehat D = \widehat C = \widehat {OBA}\) (các cặp góc đồng vị)
Suy ra \(\Delta OAB\) cân tại O.
b) Vì P là trung điểm của AB nên OP là đường trung tuyến của tam giác cân OAB, suy ra OP cũng là đường cao của tam giác cân OAB.
Do đó \(OP \bot AB\).
Mà \(AB//CD\) nên \(OP \bot CD\) (1)
Vì Q là trung điểm của CD nên OQ là đường trung tuyến của tam giác cân OCD, suy ra OQ cũng là đường cao của tam giác cân OCD.
Do đó \(OQ \bot CD\). (2)
Theo tiên đề Euclid, ta có O, P, Q thẳng hàng.
c) Xét \(\Delta ACD\) và \(\Delta BDC\) có:
\(AC = CD\) (hai đường chéo của hình thang cân)
\(AD = BC\) (hai cạnh bên của hình thang cân)
\(CD\) chung
Suy ra \(\Delta ACD = \Delta BDC\) (c.c.c)
Suy ra \(\widehat {ACD} = \widehat {BDC}\) hay \(\widehat {MCD} = \widehat {NDC}\).
Hình thang MNDC có \(\widehat {MCD} = \widehat {NDC}\) nên MNDC là hình thang cân.
Suy ra \(MC = ND\)
Mà \(AC = BD\) suy ra \(AC - MC = BD - ND\) hay \(AM = BN\).
Hình thang MNAB có hai đường chéo AM và BN bằng nhau nên MNAB là hình thang cân.