Cho hình thang vuông ABCD, \(\left( {\widehat A = \widehat D = {{90}^0}} \right)\) có \(AB = 4cm,CD = 9cm\) và \(BC = 13cm.\) Khoảng cách từ M đến BC bằng:
-
A.
4cm
-
B.
5cm
-
C.
6cm
-
D.
7cm
Kẻ BK vuông góc với CD tại K.
Tứ giác ABKD có: \(\widehat A = \widehat D = \widehat {BKD} = {90^0}\) nên tứ giác ABKD là hình chữ nhật, do đó, \(KC = DC - DK = 5cm\)
Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác BKC vuông tại K ta có:
\(B{C^2} = C{K^2} + K{B^2} \Rightarrow K{B^2} = 144 \Rightarrow KB = 12cm\)
Vì tứ giác ABKD là hình chữ nhật nên \(AD = BK = 12cm\) do đó \(AM = MD = 6cm\)
Xét tam giác ABM và tam giác DMC có:
\(\widehat {BAM} = \widehat {MDC} = {90^0},\frac{{AB}}{{DM}} = \frac{{AM}}{{DC}}\left( { = \frac{2}{3}} \right)\)
Do đó, \(\Delta ABM \backsim \Delta DMC\)
Suy ra, \(\widehat {AMB} = \widehat {DCM}\)
Mà \(\widehat {DMC} + \widehat {MCD} = {90^0} \Rightarrow \widehat {DMC} + \widehat {AMB} = {90^0}\)
Ta có: \(\widehat {DMC} + \widehat {BMC} + \widehat {AMB} = {180^0} \Rightarrow \widehat {BMC} = {90^0}\)
Do đó, tam giác BMC vuông tại M.
Kẻ MH vuông góc với BC tại H thì MH là khoảng cách từ M đến BC.
Áp dụng định lý Pythagore vào hai tam giác ABM và tam giác DMC ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}B{M^2} = M{A^2} + A{B^2} = {6^2} + {4^2} = 52\\M{C^2} = C{D^2} + D{M^2} = {9^2} + {6^2} = 117\end{array} \right.\)
Do đó, \(BM = 2\sqrt {13} cm,MC = 3\sqrt {13} cm\)
Diện tích tam giác BMC vuông tại M có:
\(\frac{1}{2}BM.MC = \frac{1}{2}MH.BC \Rightarrow 2\sqrt {13} .3\sqrt {13} = 13.MH \Rightarrow MH = 6cm\)
Đáp án : C