Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm. Người ta dựng hình vuông A1B1C1D1 có cạnh bằng 12 đường chéo của hình vuông ABCD; dựng hình vuông A2B2C2D2 có cạnh bằng 12 đường chéo của hình vuông A1B1C1D1 và cứ tiếp tục như vậy. Giả sử cách dựng trên có thể tiến ra vô hạn. Tổng diện tích tất cả các hình vuông ABCD, A1B1C1D1, A2B2C2D2, … bằng bao nhiêu?
Sử dụng kiến thức về tổng cấp số nhân lùi vô hạn: Cấp số nhân lùi vô hạn (un) với công bội q, số hạng đầu u1 thì có tổng là S=u11−q
Ta có: S1=SABCD=42;S2=SA1B1C1D1=(4√22)2=422;S3=SA2B2C2D2=(4√22.√22)2=4222;…
Sn=SAnBnCnDn=42.12n−1;…
Như vậy, các số S1;S2;...;Sn;... lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có S1=42,q=12
Do đó: S=S1+S2+...+Sn+...=S11−q=421−12=2.42=32(cm2)