Cho khối hộp chữ nhật ABCD cdot A'B'C'D' có đáy là hình

Đề bài

Cho khối hộp chữ nhật $ABCD \cdot A'B'C'D'$ có đáy là hình vuông, $BD = 2a$ , góc phẳng nhị diện $\left[ {A',BD,A} \right]$ bằng $30^\circ$ . Tính độ dài cạnh AA'

A.
$\frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$ .
B.
$\frac{a}{3}$ .
C.
$\frac{{a\sqrt 3 }}{6}$ .
D.
$\frac{{a\sqrt 3 }}{3}$ .

Phương pháp giải

Xác định góc giữa hai mặt phẳng tạo thành.

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BD \bot AO}\\{BD \bot AA'}\end{array} \Rightarrow BC \bot \left( {A'AO} \right) \Rightarrow BD \bot A'O} \right.$ .

Khi đó: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {A'BD} \right) \cap \left( {ABD} \right) = BD}\\{A'O \bot BD}\\{AO \bot BD}\end{array}\; \Rightarrow \left[ {A',BD,A} \right] = \widehat {A'OA} = 30^\circ } \right.$ .

Xét vuông tại $A$ , ta có: ${\rm{tan}}\widehat {A'OA} = \frac{{AA'}}{{AO}} \Rightarrow AA' = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \cdot a = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$ .

Đáp án D.

Đáp án : D