Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC. A'B'C' có độ dài cạnh

Đề bài

Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có độ dài cạnh đáy bằng $a$ và đường thẳng A'B hợp với mặt đáy một góc $60^\circ$ . Tính thể tích $V$ của khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

A.
$V = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{4}$ .
B.
$V = \sqrt 3 {a^3}$ .
C.
$V = \frac{{3{a^3}}}{4}$ .
D.
$V = \frac{{{a^3}}}{4}$ .

Phương pháp giải

Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy $B$ , chiều cao $h$ là $V = h.B$

Ta có: $AA' \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left( {A'B,\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {A'B,AB} \right) = \widehat {A'BA}$

Theo giả thiết $\widehat {A'BA} = 60^\circ$

Lại có: $\tan 60^\circ = \frac{{AA'}}{{AB}} \Rightarrow AA' = AB\tan 60^\circ = a\sqrt 3$

Thể tích khối lăng trụ đã cho là ${V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = a\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^3}}}{4}$

Đáp án C.

Đáp án : C